Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2014 Manhã, questão 3

Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de f x , y = 7 - x 2 - y 2 , que passam, ambos, pelos pontos 1,0 , 7 e 3,0 , 3 .

Passo 1

Bom, equação do plano tangente é aquele mesmo processo de sempre, achar as derivadas parciais (formando o vetor gradiente) e multiplicar por um vetor genérico x - x 0 , y - y 0 ,   z - z 0 . Aí falamos que esse produto é 0 , pois o vetor gradiente e o plano tangente são perpendiculares.

Então partiu encontrar essas derivadas!

f x , y = z = 7 - x 2 - y 2

Então,

F x , y , z = 7 - x 2 - y 2 - z

f x x , y = - 2 x

f y x , y = - 2 y

f z x , y = - 1

E agora temos o nosso vetor gradiente num ponto x 0 , y 0 , z 0 da superfície:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = - 2 x 0 , - 2 y 0 , - 1

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Passo 2

Ok, e agora? A questão não só não nos deu o ponto de tangência x 0 , y 0 , z 0 do plano, como nos pediu os possíveis! Mas calma, ela disse que tanto o ponto 1,0 , 7 como o 3,0 , 3 pertencem aos planos tangentes. E o que isso significa? Então, lembra daquele vetor genérico que sempre criamos, x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ? As primeira coordenadas, x   e y , eram de pontos que formavam o plano, sendo que as segundas, eram do ponto de tangência, certo? Como agora temos as coordenadas x e y , de dois pontos que foram dados pelo enunciado, ainda podemos descobrir a equação do plano!

Assim, vamos montar duas equações: uma dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor 1 - x 0 , 0 - y 0 , 7 - z 0 é 0 , e outra dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor 3 - x 0 , 0 - y 0 , 3 - z 0 é 0 .

Então, poderemos descobrir as coordenadas dos pontos de tangência, e a equação dos dois planos!

∇ F x , y , z . 1 - x 0 , 0 - y 0 , 7 - z 0 = 0 ∇ F x , y , z . 3 - x 0 , 0 - y 0 , 3 - z 0 = 0

Passo 3

Desenvolvendo a primeira,

- 2 x 0 , - 2 y 0 , - 1 . 1 - x 0 , 0 - y 0 , 7 - z 0 = 0

- 2 x 0 + 2 x 0 . x 0 + 2 y 0 . y 0 - 7 + z 0 = 0

Desenvolvendo a segunda, temos:

- 2 x 0 , - 2 y 0 , - 1 . 3 - x 0 , 0 - y 0 , 3 - z 0 = 0

- 6 x 0 + 2 x 0 . x 0 + 2 y 0 . y 0 - 3 + z 0 = 0

Como sabemos que z = 7 - x 2 - y 2 , então:

z 0 = 7 - x 0 2 - y 0 2

E o nosso sistema fica:

- 2 x 0 + 2 x 0 2 + 2 y 0 2 - 7 + z 0 = 0 - 6 x 0 + 2 x 0 2 + 2 y 0 2 - 3 + z 0 = 0

- 2 x 0 + 2 x 0 2 + 2 y 0 2 - 7 + 7 - x 0 2 - y 0 2 = 0 - 6 x 0 + 2 x 0 2 + 2 y 0 2 - 3 + 7 - x 0 2 - y 0 2 = 0

Que vale:

2 x 0 - x 0 2 - y 0 2 = 0 6 x 0 - x 0 2 - y 0 2 = 4

Passo 4

Resolvendo o sistema

2 x 0 - x 0 2 - y 0 2 = 0 6 x 0 - x 0 2 - y 0 2 = 4

podemos subtrair a primeira equação da segunda, e teremos:

4 x 0 = 4

x 0 = 1

Colocando esse valor em qualquer uma das duas, por exemplo, na primeira, teremos:

2.1 - 1 = y 0 2

y 0 2 = 1

y 0 = ± 1

E teremos, colocando esses dois valores na equação do z 0 ,

z 0 = 7 - 1 - 1

z 0 = 5

E nossos dois pontos de tangência são 1,1 , 5 e 1 , - 1,5 !

Passo 5

Agora sim! Como sabemos em quais pontos os planos são tangentes, vamos criar dois vetores genéricos, um para cada plano, x - 1 , y - 1 , z - 5 e x - 1 , y + 1 , z - 5 .

Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente da superfície no primeiro ponto e o primeiro vetor genérico, teremos:

- 2.1 , - 2.1 , - 1 . x - 1 , y - 1 , z - 5 = 0

- 2 x + 2 - 2 y + 2 - z + 5 = 0

2 x + 2 y + z = 9

Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente e o segundo vetor genérico, teremos:

- 2.1 , - 2 . - 1 , - 1 . x - 1 , y + 1 , z - 5 = 0

- 2 x + 2 + 2 y + 2 - z + 5 = 0

2 x - 2 y + z = 9

Resposta

Planos: 2 x + 2 y + z = 9 e   2 x - 2 y + z = 9

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