Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Limites e Continuidade, Plano Tangente e Reta Normal

Apenas uma das funções, f ou g , admite plano tangente a seu gráfico no ponto P = 0,0 , 0  

f x , y = x 2 y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

g x , y = x 2 + y 2 sin ⁡ y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

a) Determine uma equação para esse plano.

b) Justifique por que a outra função não admite plano tangente em P .

Passo 1

a)

Vamos lá... para admitir plano tangente, do que precisa uma função? Ela precisa ser diferenciável! Sim... vamos ter que pegar aquele limite da definição de derivada parcial e aquele outro gigante pra verificar se é diferenciável XD mas fique tranquilo(a), vai dar tudo certo :]

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função f , e depois verificar se ela é diferenciável? Para a derivada em relação a x , temos:

δ f δ x 0,0 = l i m x → 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0 =

l i m x → 0 x 2 0 x 2 + 0 2 - 0 x =

l i m x → 0 0 x = 0

Como o denominador se anula antes de fazermos o limite do x → 0 , então acabamos de ver que δ f δ x = 0 !

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Passo 2

Agora vejamos δ f δ y , pela mesma definição de derivada parcial que usamos, só trocando o x por y :

δ f δ y = l i m y → 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0 =

l i m y → 0 0 2 y 0 2 + y 2 - 0 y = l i m y → 0 0 y = 0

Show! Agora temos a δ f δ y = 0 !

Passo 3

Vamos ver então se f x , y é diferenciável? Só jogar os valores que temos no limite:

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

Relaxa que vai cortar um monte de coisa ;) Digo, não tenho certeza, mas sempre acaba cortando hehehe

Bom, coloquemos então os valores que temos no limite, lembrando que x 0 , y 0 = 0,0 , e os valores das derivadas já calculamos, e são ambos 0 .

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

Substituindo os valores,

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 k h 2 + k 2 - 0 - 0 h - 0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 = ?

Passo 4

Ok, chegamos nesse limite de duas variáveis! E agora, alguma ideia? Bom, sabemos que esse limite tem que dar 0 para que f seja diferenciável, certo? Mas sabemos que existe a opção dela não ser a tal dentre as duas funções que realmente admite plano tangente. Nesse caso, vamos primeiro tentar provar que o limite não existe, ou que é diferente de 0 (que é uma tarefa mais fácil do que provar que existe). Veja, pelo caminho t , t ,   t ∈ R , teremos:

lim h , k → 0,0 ⁡ t 2 t t 2 + t 2 3 2 =

lim h , k → 0,0 ⁡ t 3 2 t 2 3 2 =

lim h , k → 0,0 ⁡ t 3 2 3 / 2 t 3 =

lim h , k → 0,0 ⁡ 1 2 3 / 2 = 1 2 3 / 2

Olha que perfeito o que encontramos!! Isso já é o suficiente para provar que o limite não é 0 , e que ela não é diferenciável no ponto 0,0 ! Por que se ela fosse, o limite existiria e seria igual a 0 . Como encontramos 1 2 3 / 2 , de duas uma: ou ele é realmente igual a 1 2 3 / 2 , ou ele não existe! Em ambos os casos, vemos que a função não é diferenciável!

Passo 5

Bom, acabamos fazendo a letra b primeiro né... hahaha enfim, a função f não admite plano tangente porque não é diferenciável no ponto pedido!

Agora, vamos provar que a função g é diferenciável e encontrar seu plano tangente? O processo é exatamente o mesmo que fizemos para a função f ! Sugiro que pare de ver por aqui, tente fazer sozinho(a), seguindo a lógica que seguimos até agora, e depois volte para ver se fez certinho :]

Passo 6

Agora que você já fez o resto da questão (eu espero rsrs), partiu recalcular os limites todos para a função g ! Primeiro, calculemos as derivadas parciais:

δ f δ x 0,0 = l i m x → 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0 =

l i m x → 0 x 2 + 0 2 sin ⁡ 0 x 2 + 0 2 - 0 x =

l i m x → 0 x 2 sin ⁡ 0 x = l i m x → 0 0 x = 0

Primeira derivada acabou de sair! δ g δ x = 0 !

Passo 7

Agora vamos para a derivada em relação a y ?

δ f δ y = l i m y → 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0 =

l i m y → 0 0 2 + y 2 sin ⁡ y 0 2 + y 2 - 0 y =

l i m y → 0 y 2 sin ⁡ y y 2 y =

l i m y → 0   y sin ⁡ 1 y = 0

E aí está! Novamente, temos a derivada δ g δ y dando 0 ! Pronto, agora só falta ver se a função é realmente diferenciável :)

Passo 8

De novo, aquele limite que tem que dar 0 para ser diferenciável:

lim h , k → 0,0 ⁡ g 0 + h , 0 + k - g 0,0 - ∂ g ∂ x 0,0 h - ∂ g ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 sin ⁡ k h 2 + k 2 - 0 - 0 h - 0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 sin ⁡ k h 2 + k 2 h 2 + k 2

Como h 2 + k 2 = h 2 + k 2 1 2 , então o limite vale:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 1 2 sin ⁡ k h 2 + k 2

Como a função seno é limitada, e a função h 2 + k 2 1 2 vai para 0 , pelo teorema do anulamento, temos o limite todo indo para 0 !

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 1 2 sin ⁡ k h 2 + k 2 = 0

Ufa!! Finalmente provamos: a função é diferenciável!

Essa questão está sendo uma canseira, não? Segura mais um pouco que só falta fazer o plano tangente, mas essa é a parte mais fácil :D

Passo 9

Agora que já provamos tudo o que tinha pra provar, façamos o plano tangente. Como já temos as derivadas parciais, e o valor da função g no ponto do plano, só precisamos jogar na fórmula!

z - g 0,0 = δ g δ x 0,0 . x - 0 + δ g δ y 0,0 . y - 0

Como as derivas são 0 , e o valor de g 0,0 = 0 , o plano se resume a:

z - 0 = 0 . x + 0 . y = 0

z = 0

Muito simples não? Fica a dica: decore essa equação do plano, principalmente para quando temos funções de duas variáveis, é uma mão na roda! Para uma função f qualquer, teríamos:

z - f x 0 , y 0 = δ f δ x x 0 , y 0 . x - x 0 + δ f δ y x 0 , y 0 . y - y 0

Ou seja, z menos o valor da função no ponto de tangência é igual a x - x 0 e y - y 0 multiplicados pelas suas respectivas derivadas parciais ;)

Resposta

a) A função g é diferenciável na origem, portanto, admite plano tangente neste ponto, que tem equação z = 0 .

b) A função f não admite plano tangente porque não é diferenciável no ponto pedido.

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