Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Unicamp, Cálculo 2, 2019.2, P1, Questão 5.

Ache o(s) ponto(s) que pertencem à superfície dada por x 2 - y 2 + z = 0 cujo o plano tangente é paralelo ao plano z = 2 x + 4 y .

Passo 1

Então pessoal, a ideia dessa questão é a seguinte: a gente tem essa superfície aqui:

x 2 - y 2 + z = 0

E em cada ponto dessa superfície, você pode calcular um plano tangente. E o que a gente quer saber é: quantos desses planos são paralelos a esse aqui:

z = 2 x + 4 y

Então tá. Vamos começar procurando a equação geral do plano tangente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O primeiro passo é reescrever a nossa superfície desse jeito aqui:

z = f x , y

z = y 2 - x 2

Nesse caso, a fórmula pra encontrar a equação do plano tangente ao ponto x 0 , y 0 é:

z = f x 0 , y 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y y - y 0

Ok, já deu pra ver que vamos precisar calcular as derivadas parciais. Vamos fazer isso de uma vez:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y 2 - x 2 = - 2 x

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y 2 - x 2 = 2 y

Ou seja:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = - 2 x 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 2 y 0 f x 0 , y 0 = y 0 2 - x 0 2

Então nossa fórmula geral é essa aqui:

z = y 0 2 - x 0 2 - 2 x 0   x - x 0 + 2 y 0   y - y 0

z = y 0 2 - x 0 2 - 2 x 0 x + 2 x 0 2 + 2 y 0 y - 2 y 0 2

Vamos organizar isso um pouco melhor:

z = - 2 x 0 x + 2 y 0 y + x 0 2 - y 0 2

Passo 3

Beleza, o que esse plano precisa pra ser paralelo ao outro? É simples! Nosso primeiro plano é esse aqui:

z = 2 x + 4 y

Um plano perpendicular a esse tem que ter a mesma equação, com exceção de uma constante!

Então tá, queremos que esses dois planos aqui sejam paralelos:

z = - 2 x 0 x + 2 y 0 y + x 0 2 - y 0 2           &           z = 2 x + 4 y

Beleza? Mas já que fixamos o múltiplo do z como 1 (não tem nenhuma variável multiplicando o z na nossa equação geral), a gente só tem que obedecer essas duas condições aqui:

- 2 x 0 = 2 2 y 0 = 4         ⇒           x 0 = - 1 y 0 = 2

E então:

z 0 = f x 0 , y 0 = y 0 2 - x 2

z 0 = 2 2 - - 1 2 = 3

Ou seja, o ponto da superfície x 2 - y 2 + z = 0 que tem plano tangente paralelo ao z = 2 x + 4 y é:

x 0 , y 0 , z 0 = - 1,2 , 3

Resposta

O ponto x 0 , y 0 , z 0 = - 1,2 , 3   é o único que pertence à superfície e é paralela ao plano dado no enunciado.

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