Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2013.1, questão 1, item a

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y R 2

Encontre os pontos x , y , z do gráfico de f onde o plano tangente é horizontal, isto é, de equação cartesiana z = c ( c constante)

Passo 1

Para acharmos o plano tangente precisamos primeiro achar o vetor normal da função, e antes de qualquer coisa precisamos achar a função F x , y , z substituindo f x , y = z

f x , y = z = x 2 - 1 y 2 - 1

z - x 2 - 1 y 2 - 1 = 0

F x , y , z = z - x 2 - 1 y 2 - 1

Agora vamos achar seu gradiente

F = F x , F y , F z

F x = - y 2 - 1 2 x = - 2 x y 2 - 1

F y = - x 2 - 1 2 y = - 2 y x 2 - 1

F z = 1

O vetor gradiente vai ser

F = - 2 x y 2 - 1 , - 2 y x 2 - 1 , 1

Então o vetor normal vai ser

n = - 2 x y 2 - 1 , - 2 y x 2 - 1 , 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O vetor normal do plano z = c vai ser 0,0 , 1 , isso nos diz que as coordenadas x e y de n precisam ser 0 . E passamos a ter o sistema

- 2 x y 2 - 1 = 0 - 2 y x 2 - 1 = 0

Pela primeira equação temos

x = 0

Ou

y 2 - 1 = 0

Isso nos diz que

x = 0       o u         y = 1         o u         y = - 1

Pela segunda equação temos

y = 0

Ou

x 2 - 1 = 0

Isso nos diz que

y = 0         o u         x = 1           o u           x = - 1

Vamos juntar essas duas possibilidades, vamos ter os pontos

x = 0   e   y = 0 z = 0 2 - 1 0 2 - 1 = 1

y = 1   e   x = 1 z = 1 2 - 1 1 2 - 1 = 0

y = 1   e   x = - 1 z = - 1 2 - 1 1 2 - 1 = 0

y = - 1   e   x = 1 z = 1 2 - 1 - 1 2 - 1 = 0

y = - 1   e   x = - 1 z = - 1 2 - 1 - 1 2 - 1 = 0

Logo são os pontos

0,0 , 1

1,1 , 0

1 , - 1,0

- 1,1 , 0

- 1 , - 1,0

Resposta

0,0 , 1

1,1 , 0

1 , - 1,0

- 1,1 , 0

- 1 , - 1,0

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