Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UNICAMP, Cálculo 2, Exame 2014 Tarde, questão 1, item b

Verifique que o elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto ( 1,1 , 2 ) .

Passo 1

Nessa questão, fatalmente vamos ter que calcular as equações dos planos tangentes às duas superfícies no ponto ( 1,1 , 2 ) e verificar que são o mesmo plano.

Então que tal a gente começar lembrando a equação do plano tangente ao gráfico de uma função de 3 variáveis f num ponto P 0 ? Podemos escrevê-la dessa forma:

x , y , z f P 0 = P 0 f ( P 0 )

Atenção, esses pontos aí na equação são produtos escalares!

Bem, vamos prosseguir!

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Passo 2

Podemos reescrever as equações do elipsoide e da esfera dessa forma:

F x , y , z = 0       e       G x , y , z = 0

Com F x , y , z = 3 x 2 + 2 y 2 + z 2   - 9 e   G x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 .

Passo 3

Vamos começar nos focando no elipsoide, calculando o gradiente da F . As derivadas parciais vão ser:

F x x , y , z = 6 x + 0 + 0 - 0 = 6 x

F y x , y , z = 0 + 4 y + 0 - 0 = 4 y

F z x , y = 0 + 0 + 2 z - 0 = 2 z

Então o gradiente da F   é:

F x , y , z = 6 x , 4 y , 2 z

Mas o que nos interessa nessa questão é o gradiente no ponto ( 1,1 , 2 ) , que é:

F 1,1 , 2 = 6,4 , 4

Passo 4

Show! Agora podemos aplicar a fórmula que vimos antes:

x , y , z F 1,1 , 2 = ( 1,1 , 2 ) F ( 1,1 , 2 )

x , y , z 6,4 , 4 = 1,1 , 2 ( 6,4 , 4 )

6 x + 4 y + 4 z = 6 + 4 + 8 = 18

Portanto, o plano tangente ao elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 no ponto ( 1,1 , 2 ) é:

6 x + 4 y + 4 z = 18

Passo 5

Agora temos que verificar que o plano tangente à esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 no ponto ( 1,1 , 2 ) é o mesmo!

Para isso, definimos G x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 , lembra?

Então vamos seguir o mesmo procedimento da F , começando pelo gradiente:

G x x , y , z = 2 x + 0 + 0 - 8 - 0 - 0 + 0 = 2 x - 8

G y x , y , z = 0 + 2 y + 0 - 0 - 6 - 0 + 0 = 2 y - 6

G z x , y , z = 0 + 0 + 2 z - 0 - 0 - 8 + 0 = 2 z - 8

Então o gradiente da G é:

G x , y , z = ( 2 x - 8 ,   2 y - 6 ,   2 z - 8 )

E no ponto 1,1 , 2 :

G 1,1 , 2 = 2 - 8 ,   2 - 6 ,   4 - 8 = ( - 6 , - 4 , - 4 )

Observação: já podemos notar que G 1,1 , 2 = - F 1,1 , 2 . Poderíamos usar isso pra provar que os planos tangentes são os mesmos, mas vamos continuar do jeito que tá porque já tá quase no fim :D

Passo 6

Aplicando a fórmula do plano tangente, vamos ter:

x , y , z G 1,1 , 2 = ( 1,1 , 2 ) G ( 1,1 , 2 )

x , y , z - 6 , - 4 , - 4 = 1,1 , 2 ( - 6 , - 4 , - 4 )

- 6 x - 4 y - 4 z = - 6 - 4 - 8 = - 18

Multiplicando tudo por - 1 :

6 x + 4 y + 4 z = 18

É a mesma equação que achamos antes!

O elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 possuem o mesmo plano tangente em ( 1,1 , 2 ) , portanto eles se tangenciam.

Resposta

O elipsoide e a esfera têm o mesmo plano tangente em 1,1 , 2 : o plano 6 x + 4 y + 4 z = 18   .

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