Considere a função f , definida pela série de potências

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 1 n n 3 n

a) Determine o raio e o intervalo de convergência dessa série

Passo 1

a)

Pra estudar a convergência dessa série vamos olhar para

c n = - 1 n x - 1 n n 3 n

E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L = 1 R

Resolvendo o limite,

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 1 n + 1 n + 1 3 n + 1 n 3 n - 1 n x - 1 n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 - 1 x - 1 3

Passo 2

Vamos separar em 2 partes

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n = 1 1 + 0 = 1

lim n → ∞ ⁡ - 1 x - 1 3 = - 1 x - 1 3

Vamos ter então

lim n �� ∞ ⁡ n n + 1 - 1 x - 1 3 = 1 - 1 x - 1 3 = 1 - x 3

Passo 3

Pelo teste da razão, para convergir, temos:

1 - x 3 < 1

Resolvendo essa inequação

1 - x < 3

- 3 < 1 - x < 3

3 > x - 1 > - 3

- 3 < x - 1 < 3

- 2 < x < 4

Passo 4

Vamos agora analisar os extremos do intervalo.

Para x =   - 2

Temos que a série é igual a:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 2 - 1 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 3 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 3 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n  

Logo a série é divergente, afinal ela é a série harmônica.

Passo 5

Para x =   4

∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 - 1 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 - 1 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n  

Essa é uma série alternada. Para ver se ela converge, vamos aplicar o teste da série alternada

b n = 1 n

Devemos ter b n indo para 0 quando n → ∞ , e b n sendo decrescente.

Essas duas situações são verdadeiras, logo a série é convergente.

Passo 6

Logo temos que o raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é ( - 2,4 ]

Resposta

R = 3   e   ( - 2,4 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n