Determine o intervalo de convergência da série de potências

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 2 n ∙ 2 n

Passo 1

Para descobrirmos o intervalo de convergência, vamos aplicar o teste da razão nessa série de potência

a n = x - 2 n 2 n ∙ 2 n

Assim, teremos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x - 2 n + 1 2 n + 1 ∙ 2 n + 1 . 2 n ∙ 2 n x - 2 n =

lim n → ∞ ⁡ x - 2 2 . n n + 1 = x - 2 2 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = x - 2 2

Para essa série convergir, devemos ter

x - 2 2 < 1

x - 2 < 2

- 2 < x - 2 < 2

0 < x < 4

Passo 2

Agora que achamos o intervalo, temos que testar as extremidades

Primeiro, x = 4 , a nossa série vai passar a ser

∑ n = 0 ∞ 4 - 2 n 2 n ∙ 2 n = ∑ n = 0 ∞ 2 n 2 n ∙ 2 n = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 n

Essa série é a série harmônica, que diverge.

Então para x = 4 , essa série diverge.

Passo 3

Agora, x = 0 , a nossa série vai passar a ser

∑ n = 0 ∞ 0 - 2 n 2 n ∙ 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 2 n 2 n ∙ 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n

Essa é uma série alternada. Para saber se ela converge, devemos ver se

b n = 1 n

Esse termo geral é decrescente, e se o seu limite vai para 0 quando n → ∞

Podemos perceber que

n + 1 > n

1 n + 1 < 1 n

Assim, esse termo geral é decrescente

Passo 4

Agora, vamos ao limite

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Logo essa série converge para x = 0

Passo 5

O nosso intervalo de convergência vai ser

0 ≤ x < 4

Resposta

0 ≤ x < 4

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n