Sabendo que:

lim n → + ∞ ⁡ a n = 2

Determine o raio de convergência da série de potências:

∑ n = 0 ∞ a n n ! x n

Passo 1

Pra estudar a convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n = L

E analisar o valor de L . Então, sendo b n = a n n ! x n , o teste da razão será:

lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 n + 1 ! x n + 1 a n n ! x n = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 n + 1 ! x n + 1 n ! a n x n = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n x n + 1

Passo 2

Como foi dado enunciado que: lim n → + ∞ ⁡ a n = 2 , pode-se dizer que: lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = 2 , pois pra valores muito grandes de n , n + 1 é um valor muito próximo de n .

Então, lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n x n + 1 = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 = 0 para todo valor de x !!!! E portanto, o raio de convergência é INFINITO!!!!

Resposta

ρ = ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n