Seja

f x = ∑ n = 1 + ∞ n + 1 2 n 3 x - 2 n

Determine os valores de x ∈ R tais que f ( x ) é convergente.

Passo 1

O que a questão nos pede é o intervalo de convergência dessa série, vamos começar descobrindo o seu raio.

Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = n + 1 2 n 3

c n + 1 = n + 2 2 ( n + 1 ) 3

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 ( n + 1 ) 3 × n 3 n + 1 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 2 × n 3 n 3 1 + 1 / n 3 =

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 / n 1 + 1 / n 2 × 1 1 + 1 / n 3 = 1

Como R = 1 / L , temos R = 1 .

Passo 2

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em a = 2 , sabemos que esse intervalo é:

a - R ,   a + R

Isso nos dá

1,3

Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora precisamos descobrir se as extremidades x = 1 e x = 3 são abertas ou fechadas.

Passo 3

Para x = 1 , a série se torna:

∑ n = 1 + ∞ n + 1 2 n 3 1 - 2 n = ∑ n = 1 + ∞ n + 1 2 n 3 - 1 n

Uma série alternada. Essa série não tem cara de que converge absolutamente (o numerado tem “grau” 2 e o denominador, 3 ). Vamos partir então para a convergência condicional, usando o Teste das Séries Alternadas.

Precisamos verificar se b n é decrescente e se o seu limite é zero quando n tende a infinito.

Como ver se b n é decrescente? Repara no seguinte:

b n = n + 1 2 n 3 = 1 n × n + 1 2 n 2 = 1 n × 1 + 1 n 2

Certo? Sendo que tanto a sequência d n = 1 / n como e n = 1 + 1 n são decrescentes. Como b n é formada pelo produto de sequências de termos positivos descrescentes, podemos dizer que b n também decresce.

Agora precisamos checar se b n tende a zero.

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 3   = lim n → ∞ ⁡ n 2 1 - 1 n 2   n 2 n   = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 2   n   = 0

Logo, pelo Teste das séries alternadas, a série converge condicionalmente, portanto, converge.

Logo, x = 1 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 4

Para x = 3 , a série se torna:

∑ n = 1 + ∞ n + 1 2 n 3 3 - 2 n = ∑ n = 1 + ∞ n + 1 2 n 3

Repara que nós temos “grau” 2 no numerador e 3 no denominador, o que nos faz lembrar da Série Harmõnica, que diverge. Vamos então tentar usar o Teste da Comparação daqui:

n + 1 2 n 3 > n 2 n 3 = 1 n

Como a série possui termos maiores dos que os da Série Harmônica, que diverge, podemos dizer que ela também diverge.

Portanto, x = 3 não pertence ao intervalo de convergência

Resposta

I = [ 1 ,   3 )

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n