Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2011.1 - Vespertino, Questão 1a

Encontre a representação em série de potências em torno de x 0 = 0 para a função:

f x = 0 x sen t 2 d t

Passo 1

Esquece a integral por enquanto! Foca no que da dentro dela!

Bem, a gente não sabe a série de Taylor para sen t 2 , mas calma, para a sen t a gente sabe, vimos que é:

sen t = = t - t 3 3 ! + t 5 5 ! - t 7 7 !

E tem raio de convergência R =

Então se fizermos sen t 2

sen t 2 = t 2 - t 2 3 3 ! + t 2 5 5 ! - t 2 7 7 !

Assim ficou:

sen t 2 = t 2 - t 6 3 ! + t 10 5 ! - t 14 7 !

Opa, percebe que esse cara começa em t 2 e o expoente vai sempre aumentando em 4 , o denominador é sempre o fatorial da metade desse expoente e a série é alternada. Podemos escrever então:

n = 0 - 1 n t 2 + 4 n 2 + 4 n 2 ! = n = 0 - 1 n t 2 + 4 n 1 + 2 n ! = sen t 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então ok, conseguimos escrever em série de potência o que tá dentro da integral! Agora vamo usar a propriedade de integração termo a termo:

f x = 0 x sen t 2 d t = 0 x n = 0 - 1 n t 2 + 4 n 1 + 2 n ! d t = n = 0 - 1 n 1 + 2 n ! 0 x t 2 + 4 n d t = n = 0 - 1 n 1 + 2 n ! t 3 + 4 n ( 3 + 4 n ) = n = 0 - 1 n 1 + 2 n ! x 3 + 4 n ( 3 + 4 n )

Finish!

Resposta

f x = n = 0 - 1 n 1 + 2 n ! x 3 + 4 n ( 3 + 4 n )

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