Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

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Enunciado

Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

11 .   R : y = x 3 ,   y = 0 , x = 2 ;

            E : e i x o   y

Passo 1

Essa sai bem tranquila por cascas cilíndricas: os limites de integração são 0 ≤ x ≤ 2 e a função é y = x 3 . Então, a nossa integral fica:

∫ 0 2 2 π x x 3 d x

Passo 2

Já por anéis circulares, temos que a função de cima é x = 2 , e a função de baixo é x = y 3 . O primeiro limite de integração é y = 0 (já dado pela questão), e o segundo limite descobriremos usando x = 2 → y = 8 . Então, a nossa integral fica:

∫ 0 8 π 2 2 - y 3 2 d y

Passo 3

Para encontrar o volume, basta resolver uma dessas integrais, já que elas representam a mesma quantidade.

∫ 0 2 2 π x x 3 d x = ∫ 0 2 2 π x 4 d x = 2 π x 5 5 0 2 = 64 π 5

Resposta

∫ 0 2 2 π x x 3 d x = ∫ 0 8 π 2 2 - y 3 2 d y = 64 π 5

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