Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

1 4   y = 3 x ,               y = 3 x ,     y = 1   : e m   t o r n o   d o s   e i x o s   x   e   y  

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = 3 x e a curva y = 3 x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Dessa forma, o volume sólido de rotação em torno do eixo x , ou seja:

Para ficar mais fácil, se liga:

y = 3 x ∴ x = ln ⁡ y ln ⁡ 3

E na outra função, temos:

y = 3 x ∴ x = 3 y

Logo, o volume é dado pela seguinte integral utilizando o método das cascas cilíndricas:

V = 2 π ∫ 1 3 y + 1 3 y - ln ⁡ y ln ⁡ 3 d y ∴

Logo, resolvendo a integral:

V = 2 π ∫ 1 3 3 - y ln ⁡ y ln ⁡ 3 + 3 y - ln ⁡ y ln ⁡ 3 d y ∴

V = 6 π ln ⁡ 3 + π ( - 15 ln ⁡ 3 + 8 ) ln ⁡ 3 + 12 π

Passo 3

Agora, em torno do eixo y temos que o volume é dado por:

V M C C = π ∫ 1 3 3 y 2 - ln ⁡ y ln ⁡ 3 2 d y

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = π 6 - 3 ln 2 ⁡ 3 - 6 ln ⁡ 3 + 4 ln 2 ⁡ 3

Legal ne??? Vamos para a próxima!! Valeeeeu!!

Resposta

V = 6 π ln ⁡ 3 + π ( - 15 ln ⁡ 3 + 8 ) ln ⁡ 3 + 12 π

V M C C = π 6 - 3 ln 2 ⁡ 3 - 6 ln ⁡ 3 + 4 ln 2 ⁡ 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em