Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Q03) Considere a região plana R definida por:

R = x , y ∈ I R 2 x ≥ 0   , arctan ⁡ x ≤ y ≤ π 4

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y

  1. Esboce abaixo a região plana R
  2. Utilizando o Método de Discos, determine uma integral que forneça o volume de S
  3. Utilizando o Método de Cascas, determine uma integral que forneça o volume de S
  4. Calcule o volume de S pelo método que preferir.

Passo 1

Pra começar e a gente entender direitinho todas as partes dessa questão, vamos começar com um esboço. Como é uma questão de volume de sólidos de revolução, o esboço não precisa ficar magnífico. Mas vamos entender que:

x ≥ 0  

arctan ⁡ x ≤ y ≤ π 4

Significa que a região R está no primeiro! Afinal, todo arco positivo tem tangente positiva! Então isso já facilita as nossas vidas. Agora, vamos focar na parte:

y ≥ arctan ⁡ x

Oras, se a região R está acima dessa curva e abaixo de uma constante, e sabemos que x ≥ 0 então já sabemos exatamente os valores de x que vão entrar na integração: o valor x = 0 e o valor de x do ponto de interseção da curva com a constante:

arctan ⁡ x = π 4

x = tan ⁡ π 4 = 1

E pra fechar o esboço, vamos só ver quando que a curva toca o primeiro limite de integração:

arctan ⁡ x = 0

x = tan ⁡ 0 = 0

Opa, então ela parte da origem? É isso mesmo. E como a única forma de sair de 0,0 e chegar em 1 , π 4 é subindo, vamos esboçar uma função contínua e crescente:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola, agora vamos ver o volume de S . Um detalhe importante: independente do método usado, a rotação é em torno do eixo y . O Método das Cascas é um método usado pra rotacionar ao redor do eixo horizontal e não o vertical! Então pra usar ele temos que inverter a função! Logo:

y = arctan ⁡ x

x = tan ⁡ y

Ok, mas o que fazer com isso? Veja bem, quando invertemos uma função, é como se tivéssemos pegando ela e girando 90 º   e depois espelhando em relação ao eixo vertical. Saca só:

Agora girando 90 º pra esquerda

Agora espelhando:

E olha só! Assim fica bem claro de ver qual integrar usar né? Se eu girar a figura acima no eixo y vou estar usando o método das cascas corretamente! Seja o método:

V S = ∫ a b π f y 2 d y

Como a região R nesse caso é simplesmente a área abaixo da curva f y = tan ⁡ y , por esse método, temos:

V S = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ y d y

Passo 3

Usando o método das cascas cilíndricas é um pouco mais tranquilo porque não precisamos inverter função nenhuma. Mas vamos precisar prestar muita atenção no seguinte. A região R que queremos:

Pode ser entendida como essa área:

Menos essa área:

Sendo o método das cascas descrito por:

V S = ∫ a b 2 π x f x d x

Pra primeira área, a maior, como ela é tudo abaixo da constante, indo de 0 até 1 , seu volume é dado por:

∫ 0 1 2 π x   π 4 d x

E pra segunda área, a menor, como ela é tudo abaixo da função, indo de 0 até 1 , seu volume é dado por:

∫ 0 1 2 π x   arctan ⁡ x d x

O volume então vai ser:

V S = ∫ 0 1 2 π x   π 4 d x - ∫ 0 1 2 π x   arctan ⁡ x   d x

V S = ∫ 0 1 2 π x   π 4 - arctan ⁡ x d x

Passo 4

Agora é com você, escolhe qual das expressões de volume quer integrar e mão na massa! A única coisa que falta é calcular o volume mesmo. Aqui pra gente fechar mais rápido a questão, como tanto faz, selecionei a mais tranquila:

V S = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ y d y

Ta vendo aquele tan 2 ⁡ y ? Será que da pra substituir? Olha, por sorte, dá sim! Afinal:

tan 2 ⁡ y + 1 = sec 2 ⁡ y

E dessa relação trigonométria maravilhosa, tiramos:

V S = ∫ 0 π 4 π sec 2 ⁡ y - 1 d y

V S = ∫ 0 π 4 π sec 2 ⁡ y d y - ∫ 0 π 4 π d y

A segunda integral é super direta, então vamos calcular ela primeiro:

V S = ∫ 0 π 4 π sec 2 ⁡ y d y - π y y = 0 y = π 4

V S = ∫ 0 π 4 π sec 2 ⁡ y d y - π ∙ π 4 - π ∙ 0

V S = ∫ 0 π 4 π sec 2 ⁡ y d y - π 2 4

Já a primeira, vamos nos perguntar: qual a função que, quando eu derivo, dá sec 2 ⁡ x ? Hmmm, pera, não era a tangente? Isso mesmo! Vamos ter então:

V S = π tan ⁡ y y = 0 y = π 4 - π 2 4

V S = π ∙ tan ⁡ π 4 - π ∙ tan ⁡ 0 - π 2 4

V S = π ∙ 1 - π ∙ 0 - π 2 4

V S = π - π 2 4

Tcharam! Questão finalizada :D

Resposta

V S = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ y d y

V S = ∫ 0 1 2 π x   π 4 - arctan ⁡ x d x

V S = π - π 2 4

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