Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

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Enunciado

Seja f x = x e - 2 x definida em 0 ,   + ∞ e R a região delimitada pelo gráfico da função f e o eixo x . Calcule o volume do sólido gerado ao se rotacionar a região R ao redor do eixo y .

Passo 1

Essa questão tem tudo pra gente aplicar o método das cascas cilíndricas, que é aquela fórmula:

V = 2 π ∫ a b x . f x d x

Onde x = a e x = b são os pontos de interseção de f x com o eixo x . Temos que:

f 0 = 0 ⇒ a = 0

Só que tem um detalhe:

e - 2 x > 0 ⇒ x e - 2 x = f x ≠ 0 ,     x > 0

Ou seja, f x só intercepta o eixo x em x = 0 mesmo, não há nenhuma outra interseção.

Mas isso não tem problema nenhum, a única diferença em relação à fórmula habitual é que na integral não vamos ter um intervalo a ,   b , bonitinho, e sim uma integral imprópria:

V = 2 π ∫ 0 + ∞ x . x e - 2 x d x

V = 2 π ∫ 0 + ∞ x 2 e - 2 x d x

Passo 2

Pra gente não se embolar, que tal começar calculando só a integral indefinida, e depois a gente tomar o limite? Ou seja, calcular:

∫ x 2 e - 2 x d x

Vamos integrar por partes, usando:

u = x 2 ⇒ d u = 2 x . d x d v = e - 2 x d x ⇒ v = - 1 2 e - 2 x

Então vamos ter

∫ x 2 e - 2 x d x = ∫ u d v = u v - ∫ v d u

= - 1 2 x 2 e - 2 x - ∫ - 1 2 e - 2 x 2 x d x

= - 1 2 x 2 e - 2 x + ∫ x e - 2 x d x

Passo 3

Vamos calcular separado essa nova integral que apareceu:

∫ x e - 2 x d x

Integramos por parte de novo, usando:

u = x ⇒ d u = d x d v = e - 2 x d x ⇒ v = - 1 2 e - 2 x

Assim:

∫ x e - 2 x d x = ∫ u d v = u v - ∫ v d u

= - 1 2 x e - 2 x - ∫ - 1 2 e - 2 x d x

= - 1 2 x e - 2 x + 1 2 ∫ e - 2 x d x

= - 1 2 x e - 2 x + 1 2 . - 1 2 e - 2 x

= - 1 2 x e - 2 x - 1 4 e - 2 x

Passo 4

Recapitulando, até aqui vimos que

∫ x 2 e - 2 x d x = - 1 2 x 2 e - 2 x + ∫ x e - 2 x d x

= - 1 2 x 2 e - 2 x - 1 2 x e - 2 x - 1 4 e - 2 x

E nós queremos calcular

V = 2 π ∫ 0 + ∞ x 2 e - 2 x d x

Então temos que achar o valor do limite

lim b → + ∞ ⁡ 2 π - 1 2 x 2 e - 2 x - 1 2 x e - 2 x - 1 4 e - 2 x 0 b

Passo 5

Então mão na massa!

Repare que dá pra botar - 1 2 em evidência e cortar com o 2 π , aí fica:

lim b → + ∞ ⁡ - π x 2 e - 2 x + x e - 2 x + 1 2 e - 2 x 0 b

= - π . lim b → + ∞ ⁡ b 2 e - 2 b + b e - 2 b + 1 2 e - 2 b - 0 - 0 - 1 2

= - π lim b → + ∞ ⁡ b 2 e - 2 b + lim b → + ∞ ⁡ b e - 2 b + lim b → + ∞ ⁡ 1 2 e - 2 b - 1 2

Assim separamos aquele limite grandão em outros três menores.

Passo 6

Começando pelo primeiro limite:

lim b → + ∞ ⁡ b 2 e - 2 b

Essa é uma indeterminação do tipo ∞ . 0 , precisamos dar uma ajeitada na expressão:

lim b → + ∞ ⁡ b 2 e - 2 b = lim b → + ∞ ⁡ b 2 1 e - 2 b = lim b → + ∞ ⁡ b 2 e 2 b

Agora sim, temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ onde dá pra aplicar a regra de l’Hôpital:

lim b → + ∞ ⁡ b 2 e 2 b = lim b → + ∞ ⁡ 2 b 2 e 2 b = lim b → + ∞ ⁡ b e 2 b

Usando l’Hôpital mais uma vez:

lim b → + ∞ ⁡ b e 2 b = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 e 2 b = 0

Passo 7

Pro segundo limite vamos fazer exatamente a mesma coisa que no passo anterior, a única que diferença é que só vamos ter que usar l’Hôpital uma vez:

lim b → + ∞ ⁡ b e - 2 b = lim b → + ∞ ⁡ b 1 e - 2 b = lim b → + ∞ ⁡ b e 2 b

Caímos exatamente no mesmo limite que antes, que dá:

lim b → + ∞ ⁡ 1 2 e 2 b = 0

Passo 8

E o terceiro limite é, simplesmente:

lim b → + ∞ ⁡ 1 2 e - 2 b = 0

Passo 9

Portanto, juntando tudo, o volume dá:

V = - π 0 + 0 + 0 - 1 2

⇒ V = π 2

Resposta

π 2

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