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Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

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Enunciado

Seja D a região situada entre as curvas y = 1 12 , x = 1 , x = 3 e y = 1 x + x 3 . Calcule o volume do sólido S obtido fazendo girar a região D em torno do eixo y .

Passo 1

O chato dessa questão é conseguir visualizar. Vamos fazer um esboço para nos orientar. Como sabemos que o polinômio x + x 3 é crescente para todo o x , podemos ver que:

y = 1 x + x 3

Deve ser decrescente para todo x , excluindo x = 0 onde não está definido. Além disso temos:

y 1 = 1 2 > 1 12

y 3 = 1 4 3 > 1 12

Passo 2

Portanto podemos esboçar:

Agora podemos fazer a fórmula de cascas cilíndricas:

V = ∫ 1 3 2 π R f x d x

Onde R é a distância de um ponto arbitrário no eixo O x até o eixo de giro. No caso a distância é simplesmente x :

R = x

Passo 3

A função f ( x ) é a altura do gráfico. Como a região D só considera a parte do gráfico acima de y = 1 / 12 , nossa f ( x ) é:

f x = 1 x + x 3 - 1 12

Logo:

V = 2 π ∫ 1 3 x 1 x + x 3 - 1 12 d x

Passo 4

Fazendo a distributiva da integral:

V = 2 π ∫ 1 3 1 1 + x 2 d x - 1 12 ∫ 1 3 x d x

Integramos:

V = 2 π a r c t g x 1 3 - x 2 24 1 3

Por fim, substituímos os valores:

V = 2 π π 3 - π 4 - 1 24 3 - 1

V = π 2 - π 6

Resposta

π 2 - π 6

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar