Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo y :

Passo 1

Eaí gente!! Vamo destruir outra questão? Vem com a gente que vai dar certo!!

Aqui temos uma região no plano x y :

E, vamos rotacioná-la em torno do eixo y , gerando o que chamamos de sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, devemos usar o método da casca, que fala que:

Se rotacionarmos uma região abaixo da curva f ( x ) em torno do eixo y , o volume do sólido obtido vale:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Show de bola! Então vamos montar essa integral para a nossa região e depois calcular o volume 😊

Passo 2

A nossa região que será rotacionada está abaixo da curva

f x = 2 - x 2 4

E dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 2 . Assim, lembrando que:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Temos:

V =   ∫ 0 2 2 π x ⋅ 2 - x 2 4 d x

Colocando as constantes para fora, ficamos com:

V = 2 π ⋅ ∫ 0 2 2 x - x 3 4 d x

Usando que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Vem:

V = 2 π ⋅ x 2 - x 4 4 ⋅ 4 0 2

= 2 π ⋅ 2 2 - 2 4 16

Por fim:

V =   6 π

Uhuuul! Até que foi rápido.Até a próxima pessoal! 😊

Resposta

6 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em