Usando que

sin ⁡ ( a ) sin ⁡ ( b ) = 1 2 ( cos ⁡ a - b - cos ⁡ ( a + b ) )

Calcule as seguintes integrais:

a )   ∫ sin ⁡ ( 3 x ) sin ⁡ ( 5 x ) d x

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Vamos começar com essa questão! O enunciado é bastante direto, mas se não reconhece a relação dada no enunciado, você consegue obter ela através de:

sin ⁡ ( A ± B ) = sin ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ± sin ⁡ ( B ) cos ⁡ ( A )         ( 1 )

cos ⁡ ( A ± B ) = cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ∓ sin ⁡ A sin ⁡ B           ( 2 )

Mas, o que precisamos fazer é mais direto! Vamos utilizar a expressão dada no enunciado para reescrever nosso integrando. Belezinha?

Passo 2

Podemos identificar que a = 3 x e b = 5 x , poderia ser o contrário, mas vamos fazer com essa escolha, beleza? Temos que:

∫ sin ⁡ ( 3 x ) sin ⁡ ( 5 x ) d x = ∫ 1 2 cos ⁡ - 2 x - cos ⁡ 8 x d x

Vamos relembrar algumas propriedades do cosseno e de integração! Saca só!

Passo 3

De cara, nós temos que:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ a x + C           ( 2 )

Não vamos esquecer da constante de integração, beleza? Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Usando a propriedade (3), temos que:

∫ 1 2 cos ⁡ - 2 x - cos ⁡ 8 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ ( - 2 x ) d x - 1 2 ∫ cos ⁡ ( 8 x ) d x

Antes de integrarmos, por simplicidade, vale a pena lembrar que:

cos ⁡ ( - 2 x ) = cos ⁡ ( 2 x )

De forma que aplicando a equação (2), temos:

1 2 ∫ cos ⁡ ( 2 x ) d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 8 x d x = 1 2 1 2 sin ⁡ 2 x + C 1 - 1 2 1 8 sin ⁡ 8 x + C 2

Só vamos reescrever isso um pouquinho! Bora lá!

Passo 5

Temos que:

1 2 1 2 sin ⁡ 2 x + C 1 - 1 2 1 8 sin ⁡ 8 x + C 2 = 1 4 sin ⁡ 2 x - 1 16 sin ⁡ 8 x + C 3

Só juntei as constantes em uma só C 3 = 1 2 C 1 + 1 2 C 2 . O resultado é esse! Bora para a próxima alternativa!!

Resposta

∫ sin ⁡ ( 3 x ) sin ⁡ ( 5 x ) d x = 1 4 sin ⁡ 2 x - 1 16 sin ⁡ 8 x + C 3

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