Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a nossa integral

∫ cos 5 ⁡ x d x = ∫ cos 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x d x

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

∫ cos 5 ⁡ x d x = ∫ 1 - sen 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x d x

Passo 2

Beleza! Agora vamos usar a técnica da substituição para resolver

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x   d x

Então ficamos com

∫ cos 5 ⁡ x d x = ∫ 1 - u 2 2 d u

∫ cos 5 ⁡ x d x = ∫ 1 - 2 u 2 + u 4   d u

∫ cos 5 ⁡ x d x = u - 2 3 u 3 + 1 5 u 5 + C

Refazendo a substituição

∫ cos 5 ⁡ x d x = 1 5 sen 5 ⁡ x - 2 3 sen 3 ⁡ x + sen ⁡ x + C

Resposta

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x