Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos lá! Precisamos de uma forma melhor de escrever

cos ⁡ ( π x ) cos ⁡ π x 2  

E como vamos fazer isso? Fica calmo! Segura na minha mão e vamos lembrar lá do ensino médio, você lembra que

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b

Lembrou? Então, se somarmos essas equações teremos

cos ⁡ a + b + cos ⁡ ( a - b ) = 2 cos ⁡ a cos ⁡ b

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + 1 2 cos ⁡ ( a - b )

Olha só! Isso parece com o nosso problema

a = π x

b = π x 2

Então

cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2 = 1 2 cos ⁡ π x + π x 2 + 1 2 cos ⁡ π x - π x 2

cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2 = 1 2 cos ⁡ 3 π x 2 + 1 2 cos ⁡ π x 2

Aplicando isso na nossa integral vamos ficar com

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = ∫ 0 1 / 2 1 2 cos ⁡ 3 π x 2 + 1 2 cos ⁡ π x 2 d x

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = ∫ 0 1 / 2 1 2 cos ⁡ 3 π x 2 d x + ∫ 0 1 / 2 1 2 cos ⁡ π x 2 d x

Passo 2

Agora que a gente reescreveu, fica bem mais fácil de resolver nossas integrais. Vamos fazer isso pelo método da substituição. Para o caso da integral

∫ 0 1 / 2 1 2 cos ⁡ 3 π x 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 / 2 cos ⁡ 3 π x 2 d x

Se aplicarmos

u = 3 π x 2

d u = 3 π 2 d x

2 d u 3 π = d x

1 2 ∫ 0 1 / 2 cos ⁡ 3 π x 2 d x = 1 2 2 3 π ∫ 0 1 / 2 cos ⁡ u d u

1 2 ∫ 0 1 / 2 cos ⁡ 3 π x 2 d x = 1 3 π sen ⁡ u 0 1 / 2

Então

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = 1 3 π sen ⁡ u 0 1 / 2 + ∫ 0 1 / 2 1 2 cos ⁡ π x 2 d x

Refazendo a substituição

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = 1 3 π sen ⁡ 3 π 2 0 1 / 2 + ∫ 0 1 / 2 1 2 cos ⁡ π x 2 d x

Se fizermos o mesmo para a segunda integral, vamos ficar com

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = 1 3 π sen ⁡ 3 π x 2 0 1 / 2 + 1 π sen ⁡ π x 2 0 1 / 2

Passo 3

Agora só falta aplicar os limites de integração

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = 1 3 π sen ⁡ 3 π x 2 0 1 / 2 + 1 π sen ⁡ π x 2 0 1 / 2

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = 1 3 π sen ⁡ 3 π 4 - 1 3 π sen ⁡ 0 + 1 π sen ⁡ π 4 - 1 π sen ⁡ 0

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = 1 3 π 2 2 + 1 π 2 2

∫ 0 1 / 2 cos ⁡ π x cos ⁡ π x 2   d x = 2 2 3 π

Resposta

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
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Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x