6) Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.

h) ∫ x sin ⁡ 2 x d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o próprio enunciado nos fala, precisamos identificar qual a técnica mais indicada para resolvermos a integral.

Com certeza isso não é uma missão simples, não é mesmo? Só com muita prática e muito estudo, conseguimos definir só de olhar qual a integral correta.

Maaaaaas...

Sempre podemos usar algumas dicas e passos para tentarmos encontrar com mais facilidade. Vamos tentar utilizar os tipos de integral nessa sequência: Substituição Direta, Substituição de Variável, Integral por Partes, Substituição Trigonométrica e por fim Frações Parciais.

Sacou? O que acha? Parece mais fácil, né?

Para essa função:

Podemos realizar uma substituição direta? Não, já que temos o x aparecendo duas vezes de forma diferente, portanto não encontramos esse formato nas tabelas por aí.

Podemos aplicar substituição de variável? Também não, por mais que tentemos chamar x de u ou sin ⁡ 2 x de u , acabamos não encontrando um d u que sirva para essa integral.

Podemos aplicar integral por partes? Acho que vale a tentativa, não é mesmo?

Passo 2

Muito bom!

Como já sabemos, a integral por partes possui uma receitinha:

∫ u   d v = u * v - ∫ v d u

Vamos chamar u = x e d v = sin ⁡ 2 x d x .

Então:

d u = d x

v = - 1 2 cos ⁡ 2 x

Agora podemos aplicar a nossa receita:

x * - 1 2 cos ⁡ 2 x - ∫ - 1 2 cos ⁡ 2 x d x

Passo 3

Nesse passo vamos calcular a nova integral:

Como - 1 2 é constante em relação a x , sairá da integral:

- 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x

Essa nova integral é uma substituição de variável, certo?

Então:

u = 2 x

d u = 2 d x

Ou:

d u 2 = d x

Aplicando na substituição de variável:

- 1 2 ∫ cos ⁡ u 1 / 2     d u

Como 1 2 é constante em relação a u :

- 1 4 ∫ cos ⁡ u   d u

Essa é uma substituição direta, certo:

= - 1 4 sin ⁡ u

Agora vamos juntar tudo o que calculamos na receitinha da integral por partes:

- x cos ⁡ 2 x 2 - - 1 4 sin ⁡ u

Substituindo u e simplificando:

- x cos ⁡ 2 x 2 + 1 4 sin ⁡ 2 x

Simplificando mais uma vez:

1 2 1 2 sin ⁡ 2 x - x cos ⁡ 2 x

Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!

= 1 2 1 2 sin ⁡ 2 x - x cos ⁡ 2 x + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 2 1 2 sin ⁡ 2 x - x cos ⁡ 2 x + C

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