6) Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.

f) ∫ x 1 + x 4 d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o próprio enunciado nos fala, precisamos identificar qual a técnica mais indicada para resolvermos a integral.

Com certeza isso não é uma missão simples, não é mesmo? Só com muita prática e muito estudo, conseguimos definir só de olhar qual a integral correta.

Maaaaaas...

Sempre podemos usar algumas dicas e passos para tentarmos encontrar com mais facilidade. Vamos tentar utilizar os tipos de integral nessa sequência: Substituição Direta, Substituição de Variável, Integral por Partes, Substituição Trigonométrica e por fim Frações Parciais.

Sacou? O que acha? Parece mais fácil, né?

Para essa função:

Podemos realizar uma substituição direta? Não, já que temos o x aparecendo duas vezes de forma diferente, portanto não encontramos esse formato nas tabelas por aí.

Podemos aplicar substituição de variável? Acho que vale a tentativa, não é mesmo?

Passo 2

Muito bom!

Como já sabemos, a integral por substituição de variáveis precisa de um u . Podemos considerar:

u = x 2

Portanto:

d u = 2 x   d x

Ou:

d u 2 = x   d x

Perfeito! Agora podemos fazer a nossa substituição:

∫ x 1 + x 4 d x = ∫ 1 2 ( 1 + u 2 ) d u

Passo 3

Nesse passo vamos calcular a nova integral:

Como 1 2 é constante em relação a x , sairá da integral:

1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u

Essa é uma substituição direta, certo?

Então:

1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 ( arctan ⁡ u )

Vamos substituir o u :

= 1 2 ( arctan ⁡ x 2 )

Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!

= 1 2 ( arctan ⁡ x 2 ) + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 2 ( arctan ⁡ x 2 ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
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Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x