Calcule

∫ 0 π x   c o s ( 5 x ) d x

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Essa é bastante direta, precisamos calcular a seguinte integração

∫ 0 π x   c o s ( 5 x ) d x

aqui temos um produto de um polinômio com uma função trigonométrica! Isso é a cara de uma integração por partes! Ou seja, vamos tentar escrever a integral no seguinte formato

∫ a b u d v = v d u | a b - ∫ a b v d u

o segredo é só como quem é u e quem é d v ! Belezinha? Bora lá!

Passo 2

Para escolhermos quem será u , é conveniente utilizar a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversas, Polinomial, Trigonométrica, Exponencial) que nos dá uma ordem de preferência para escolher! Como na lista, polinômio vem antes de trigonométrica, iremos escolher que

u = x e d v = c o s ( 5 x ) d x

Para aplicar a fórmula precisamos de d u e v , podemos escrever diretamente que

d u = d x

e, usando o seguinte resultado conhecido

∫ c o s ( a x ) d x = 1 a s e n ( a x ) + C

Temos que

v = 1 5 s e n ( 5 x )

Nossa integral se reduz então à seguinte

∫ 0 π x c o s ( 5 x ) d x = 1 5 x s e n ( 5 x ) | 0 π - 1 5 ∫ 0 π s e n ( 5 x ) d x

Vamos resolvê-la!

Passo 3

Nós temos que a integral de seno também é conhecida como

∫ s e n ( a x ) d x = - 1 a c o s ( a x ) + C

Portanto, podemos escrever que

∫ 0 π x c o s ( 5 x ) d x = 1 5 [ π s e n ( 5 π ) - ( 0 ) s e n ( 0 x ) ] - 1 5 [ - 1 5 ( c o s ( 5 x ) ) | 0 π ]

Como temos que s e n ( 0 ) = s e n ( 5 π ) = 0 , obtemos que

∫ 0 π x c o s ( 5 x ) d x = 1 25 [ c o s ( 5 π ) - c o s ( 0 ) ] = 1 25 [ - 1 - 1 ]

Ou simplesmente, temos que

∫ 0 π x c o s ( 5 x ) d x = - 2 25

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 π x c o s ( 5 x ) d x = - 2 25

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