Calcule as integrais abaixo.

m )   ∫ π / 4 π / 2 c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ π 4 π 2 c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x

Mas você já sabe que sem manipular esse integrando, não vai rolar integrar nada! Eu vou te sugerir uma coisa: sempre que tiver cotangente/cossecante com expoente par usa a identidade trigonométrica

c o s s e c 2 x = 1 + c o t g 2 x

E lembra sempre que a derivada da cotangente é

u = c o t g x

d u = - c o s s e c 2 x

Assim você vai ter a função u e sua derivada no integrando e usar a técnica de substituição simples para integrar!

Então a ideia aqui é transformar essa cotangente em senos e cossenos, usar a identidade trigonométrica e integrar pelo método da substituição

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral indefinida é a seguinte:

∫ c o t g 4 x c o s s e c 4 x d x

Então vamos primeiro manipular esse integrando. Separando aquela cossecante na quarta em um produto de duas cossecantes ao quadrado:

c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x = c o t g 4 x . c o s s e c 2 x . c o s s e c 2 x   d x

Em uma delas podemos usar a identidade trigonométrica

c o s s e c 2 x = 1 + c o t g 2 x

E deixamos a outra para usar como d u (no futuro não tão distante)

c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x = c o t g 4 x ( 1 + c o t g 2 x ) c o s s e c 2 x   d x

Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Agora vamos partir para a substituição! Como comentei lá no passo 1, em uma integral de configuração igual a nossa, é interessante usarmos

u = c o t g x

Uma vez que

d u = - c o s s e c 2 x   d x

E temos essa expressão no integrando. Fazendo as substituições temos o seguinte:

c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x = c o t g 4 x ( 1 + c o t g 2 x ) c o s s e c 2 x   d x

= u 4 1 + u 2 . ( - d u )

E aí a integral indefinida fica assim:

∫ c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x = - ∫ u 6 + u 4 d u

Uma integral polinomial apenas! Agora sim, #partiu integrar

= - u 7 7 - u 5 5

E voltando para x :

∫ c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x = - ( c o t g x ) 7 7 - ( c o t g x ) 5 5

Terminou? Não!

Calma, agora só falta aplicar nos limites de integração! Lembra que temos uma integral definida!

Passo 4

Nossa integral era:

∫ π 4 π 2 c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x

Agora vamos usar o resultado do passo anterior e aplicar os limites:

∫ π / 4 π / 2 c o t g 4 x c o s s e c 4 x   d x = - ( c o t g x ) 7 7 - ( c o t g x ) 5 5 0 π / 3

Aí temos

= - c o t g π 2 7 7 - c o t g π 2 5 5 - - c o t g π 4 7 7 - c o t g π 4 5 5

= 0 + 1 7 + 1 5

Simplificando temos o resultado final:

= 12 35

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

12 35

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