Calcule as integrais abaixo.

q )   ∫ 0 π / 4 c o s ⁡ ( 7 x ) c o s ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ 0 π 4 c o s ⁡ ( 7 x ) c o s ⁡ ( 2 x ) d x

essa é um caso muito especial de integração. No nosso material está em “Métodos de Integração – Parte II: Integrais trigonométricas”, mas especificamente no caso 5:

e como resolvemos esses tipos de integrais? Usando as seguintes identidades trigonométricas:

Então a ideia aqui é transformar esse integrando que é um produto de trigonométricas em soma de funções trigonométricas, muito mais simples para integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar a seguinte coisa:

∫ c o s ⁡ ( 7 x ) c o s ⁡ ( 2 x ) d x

Então estamos no caso em que temos

∫ c o s ( x ' ) c o s ( y ' ) d x

Com x ' = 7 e y ' = 2 . Usando a segunda identidade

s e n x ' c o s y ' = 1 2 cos ⁡ x ' + y ' + cos ⁡ x ' - y '

E aí nosso integrando fica assim:

c o s ( x ' ) c o s ( y ' ) = 1 2 cos ⁡ 9 x + cos ⁡ 5 x

Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular a integral! Vamos lá?

Passo 3

A integral que temos para resolver é:

∫ c o s ⁡ ( 7 x ) c o s ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 9 x + cos ⁡ 5 x d x

Integrando temos:

= 1 2 1 9 s e n 9 x + 1 5 s e n 5 x = 1 18 s e n 9 x + 1 10 s e n 5 x

Acabou por aqui? Não! Precisamos aplicar nos limites de integração, nossa integral aqui é DEFINIDA!

Passo 4

A integral definida que vamos resolver é

∫ 0 π / 4 c o s ⁡ ( 7 x ) c o s ⁡ ( 2 x ) d x

E usando o resultado do passo anterior, podemos aplicar os limites de integração:

∫ 0 π / 4 c o s ⁡ ( 7 x ) c o s ⁡ ( 2 x ) d x = 1 18 s e n 9 x + 1 10 s e n 5 x 0 π / 4

Aí temos o seguinte:

= 1 18 s e n 9 π 4 + 1 10 s e n 5 π 4 - 1 18 s e n 0 + 1 10 s e n 0

= 1 18 s e n 9 π 4 + 1 10 s e n 5 π 4

s e n 9 π 4 e s e n 5 π 4 (que tem o valor de ± 2 2 , dependendo do quadrante em que estiver, já que temos um múltiplo de π 4 ) vamos dar uma olhadinha no ciclo trigonométrico:

Na primeira volta, partindo do 0 π 4 (que é zero) e andando de π 4 em π 4 , vemos que o ângulo de 5 π 4 está no terceiro quadrante, então o seno é negativo e vale - 2 2 .

Continuando nossa volta em torno do ciclo, depois de fechar a primeira volta em 8 π 4 , andamos mais π 4 chegando em 9 π 4 , no primeiro quadrante. Ali o seno é positivo e vale 2 2 .

Então nosso resultado final fica assim:

∫ 0 π 4 cos ⁡ 7 x cos ⁡ 2 x d x = 1 18 s e n 9 π 4 + 1 10 s e n 5 π 4

= 1 18 2 2 + 1 10 - 2 2 = 2 2 1 18 - 1 10 = 2 2 5 - 9 90

= - 2 45

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

- 2 45

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral int_0^((pi)/(4)) sec (theta) tan (theta) d theta
Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x