Calcule as integrais abaixo.

l )   ∫ t g x sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ t g x sec 3 ⁡ x d x

Mas você já sabe que sem manipular esse integrando, não vai rolar integrar nada! Eu vou te sugerir uma coisa: sempre que tiver tangente/secante com expoente ímpar substitui pelo equivalente a senos e cossenos (nesse caso, a secante também) e usa a identidade trigonométrica

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Assim você vai poder colocar alguém como u (seja seno ou cosseno) e o d u vai estar ali também!

Então a ideia aqui é transformar essa tangente/secante em senos e cossenos, usar a identidade trigonométrica e integrar pelo método da substituição

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral indefinida é a seguinte:

∫ t g x sec 3 ⁡ x d x

Então vamos primeiro manipular esse integrando. Sabendo que t g x = s e n x cos ⁡ x e que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x ,

t g x sec 3 ⁡ x d x = s e n x cos ⁡ x . 1 cos 3 ⁡ x d x = s e n x   d x cos 4 ⁡ x

Aqui nem precisamos usar a identidade trigonométrica, pois já temos u = cos ⁡ x   e o - d u = s e n   x   d x em cima. A identidade é útil quando “sobra” um s e n 2 x , aí sim usamos ela!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos usar a substituição

u = cos ⁡ x

Pois temos no numerador

- d u = s e n   x   d x

Aí o integrando fica:

t g x sec 3 ⁡ x d x = s e n x   d x cos 4 ⁡ x = - d u u 4

Assim ficamos com um integrando puramente polinomial!

#partiu integrar!

∫ t g x sec 3 ⁡ x d x = - ∫ d u u 4 = 1 3 u 3

E agora voltando para x , lembrando que u = cos ⁡ x :

∫ t g x sec 3 ⁡ x d x = 1 3 ( cos ⁡ x ) 6

E por fim, temos que 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x , temos nosso resultado final:

∫ t g x sec 3 ⁡ x d x = 1 3 sec 3 ⁡ x + C

Não esquece de colocar o +C no final! Nossa integral é indefinida!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ t g x sec 3 ⁡ x d x = 1 3 sec 3 ⁡ x + C

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