Calcule as integrais indefinidas das seguintes funções abaixo. Lembrando que as letras A, B C e D, quando presentes representam números da sua matricula conforme instruções descritas no início da prova.

  1. f x = c o s x x
  2. f x = A + 1 t e B + 2 t  
  3. f x = A + 1 cos ⁡ x - B + 1   s e n   x s e n 3 x
  4. f x - ln ⁡ ( x + C )

Passo 1

Falaii pessoal, tudo bem?

Bora resolver esse juntinho comigo?

Já lendo as observações podemos avaliar as predefinições, com base no número da matricula.

Então vamos considerar os números a seguir como exemplo 14102023

Os 4 últimos dígitos definem A ,   B , C   e   D .

A = 2

B = 0

C = 2

D = 3

Olhando e organizando os valores na função dada, temos:

f x = A + 1 t e B + 2 t  

f x = 2 + 1 t e 0 + 2 t  

f x = 3 t e 2 t  

Como já definimos, vamos resolver elaaa....

Passo 2

Para calcular a integral indefinida da função ∫ 3 t e 2 t d t

com base na teoria do cálculo, você pode usar a integração por partes.

A fórmula de integração por partes é dada por:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aqui, você deve escolher partes u   e   d v   d e   f ( x ) e, em seguida, calcular d u   e   v .

Neste caso, vamos escolher:

u = t   ( a s s i m ,   d u = d t )

d v = 3 e 2 t d t (assim, v   é a integral de d v )

Passo 3

Agora, calcule d u   e   v :

d u = d t

Para encontrar v , integramos d v :

v = ∫ 3 e 2 t   d t

Para integrar 3 e 2 t   d t , você pode usar a regra de substituição.

Deixe w = 2 t , então d w = 2 t ,   e n t ã o   d w = 2 d t ,   e   d t = 1 2 d w .

Agora, a integral se torna:

v = 3 ∫ e w 1 2 d w = 3 2 ∫ e w d w

Agora, integramos e w em relação a w :

v = 3 2 ⋅ e w + C = 3 2 e 2 t + C

Passo 4

Agora, podemos usar a fórmula de integraç��o por partes:

∫ 3 e t 2 t d t = u v - ∫ v   d u = t 3 2 e 2 t - ∫ 3 2 e 2 t d t

Agora, você pode calcular a integral no lado direito:

∫ 3 2 e 2 t d t = 3 2 ∫ e 2 t d t = 3 2 ⋅ 1 2 e 2 t + C = 3 4 e 2 t + C

Agora, junte tudo:

∫ 3 t e 2 t d t = t 3 2 e 2 t - 3 4 e 2 t + C

Finalmente, você tem a integral indefinida de f x = 3 t e 2 t   :

∫ 3 t e 2 t d t = 3 2 t e 2 t - 3 4 e 2 t + C

Onde C é a constante de integração.

Resposta

3 2 t e 2 t - 3 4 e 2 t + C

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