Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Ver Teoria

Enunciado

b) Calcule:

∫ 4 - x 2 d x

Passo 1

Ok, integrais com raízes podem enrolar um pouco a cabeça eu sei. Mas calma gafanhoto, vamos tirar de letra. Dá uma olhada nessa manipulação aqui:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Opa, trigonometria? É meu caro! Vamos tentar uma substituição trigonométrica aqui. Multiplicando por 4 dos dois lados:

4 cos 2 ⁡ θ = 4 - 4 sin 2 ⁡ θ

2 cos ⁡ θ 2 = 4 - 2 sin ⁡ θ 2

Se fizermos a substituição:

x = 2 sin ⁡ θ

Vamos poder reescrever a integral para:

∫ 4 - 2 sin ⁡ θ 2 d x = ∫ 4 - 4 sin 2 ⁡ θ d x = ∫ 2 cos ⁡ θ 2 d x = ∫ 2 cos ⁡ θ d x

Tá, mas e aquele d x ali? Bem, a gente se livre dele derivando x em relação à θ já que a substituição faz x ser uma função de θ . Derivando então:

d x d θ = 2 cos ⁡ θ

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo então:

∫ 2 cos ⁡ θ d x = ∫ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Vamos então resolver a última integral que ficou:

∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ

E olha só, não dá pra resolver isso sem relações trigonométricas em! Se:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

Então:

∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ 2 + 2 cos ⁡ 2 θ d θ

= ∫ 2   d θ + ∫ 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Pra primeira integral das duas que acabamos gerando acima, temos:

∫ 2   d θ = 2 θ

Revertendo θ para x , como:

x = 2 sin ⁡ θ

Vamos ter que:

θ = arcsin ⁡ x 2

E logo:

∫ 2   d θ = 2 θ = 2 arcsin ⁡ x 2   I

E pra fechar, vamos ver a segunda integral, beleza? Ela vai ser:

∫ 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Fazendo aí uma substituição simples:

u = 2 θ

d θ = d u 2

Ficamos com:

∫ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ cos ⁡ u d u = sin ⁡ u

Voltando pra variável θ , temos:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora vamos com calma, pra voltarmos pra variável x . Primeiro, vamos lembrar que:

x = 2 sin ⁡ θ

Então já vamos ter que:

sin ⁡ 2 θ = x cos ⁡ θ

Mas , se lembrarmos lá do início, vamos ver que:

4 - x 2 = 2 cos ⁡ θ

Sendo assim:

cos ⁡ θ = 4 - x 2 2

E logo:

∫ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = sin ⁡ 2 θ = x   4 - x 2 2   I I

Questão fechada! A integral vai ficar a soma de I e I I :

∫ 4 - x 2 d x = x   4 - x 2 2 + 2 arcsin ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ 4 - x 2 d x = x   4 - x 2 2 + 2 arcsin ⁡ x 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x