10.2 Calcule as integrais

b) ∫ sen 6 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ sen 6 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x .

Pra isso, vamos fazer algumas manipulações usando a identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

E depois vamos acabar chegando numa função composta. Daí usamos substituição simples pra resolver a integral.

Passo 2

Repara que só temos seno e cosseno e que a derivada de um é igual o outro, né?

Então podemos manipular de forma que só fique um seno ou só um cosseno.

Se separarmos em:

∫ sen 6 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = ∫ sen 6 ⁡ x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x :

= ∫ sen 6 ⁡ x 1 - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

= ∫ sen 6 ⁡ x - sen 8 ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 3

Usando substituição trigonométrica:

u = sen ⁡ x → d u = cos ⁡ x d x

Então:

∫ sen 6 ⁡ x - sen 8 ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ u 6 - u 8 d u

= u 7 7 - u 9 9

Voltando pra sen ⁡ x :

= sen 7 ⁡ x 7 - sen 9 ⁡ x 9

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= sen 7 ⁡ x 7 - sen 9 ⁡ x 9 + C

Resposta

sen 7 ⁡ x 7 - sen 9 ⁡ x 9 + C

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