Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.

d )   ∫ 0 2 / 3 x 3 4 - 9 x 2 d x  

Passo 1

Vamos que vamos para mais uma alternativa!!

Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Para identificar qual é o nosso caso, vamos primeiro reescrever um pouco nossa integral! Temos:

∫ 0 2 / 3 x 3 4 - 9 x 2 d x = ∫ 0 2 / 3 x 3 9 4 9 - x 2 d x = 3 ∫ 0 2 / 3 x 3 4 9 - x 2 d x

Então podemos identificar o seguinte caso:

a 2 - u 2

Em que a = 2 / 3 . Para esta situação é conveniente usar a substituição:

x = a sin ⁡ ( θ ) = 2 3 sin ⁡ ( θ )         e           d x = 2 3 cos ⁡ ( θ ) d θ

Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!

Passo 2

Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:

3 ∫ a b x 3 4 9 - x 2 d x = 3 ∫ a b 8 27 sin 3 ⁡ ( θ ) 4 9 - 4 9 sin 2 ⁡ ( θ ) d θ

Eu mudei os limites de integração para valores qualquer só por formalidade, vamos voltar para os originais depois, belezinha? Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vem comigo!

Passo 3

Vamos lembrar que:

sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 → cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 - sin 2 ⁡ ( θ )

Ou seja,

8 9 ∫ a b sin 3 ⁡ ( θ ) 4 9 1 - sin 2 ⁡ θ d θ = 16 27 ∫ a b sin 3 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) d θ = 16 27 ∫ a b sin 3 ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) d θ

Agora conseguimos resolver isso fazendo uma substituição simples de variável! Saca só!

Passo 4

Fazendo a substituição u = sin ⁡ ( θ ) e d u = cos ⁡ ( θ ) d θ , temos:

16 27 ∫ u ( a ) u ( b ) u 3 d u

Identificando a primitiva, temos então:

16 27 ∫ u ( a ) u ( b ) u 3 d u = 4 27 u 4 ​ u ( a ) u ( b )

Voltando para a variável θ , temos:

4 27 u 4 ​ u ( a ) u ( b ) = 4 27 16 81 sin 4 ⁡ ( θ ) ​ a b = 64 2187 sin 4 ⁡ ( θ ) ​ a b

Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!

Passo 5

Temos que:

x = 2 3 sin ⁡ ( θ ) → sin ⁡ ( θ ) = x 2 / 3 = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

E, utilizando Pitágoras para obter o cateto adjacente, temos:

4 / 9 = x 2 + c 2 → c = 4 / 9 - x 2

E nosso triângulo retângulo tem a forma:

Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!

Passo 6

Desta forma, temos que:

sin ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = x 4 / 9

Maravilha! Temos então que:

64 2187 sin 4 ⁡ θ ​ a b = 64 2187 9 x 4 4 ​ 0 2 / 3 = 64 2187 6561 256 x 4 ​ 0 2 / 3 = 3 4 x 4 ​ 0 2 / 3

Que resulta em:

3 4 x 4 ​ 0 2 3 = 3 4 2 3 4 = 4 27

Maravilha! Nossa resposta é então:

∫ 0 2 / 3 x 3 4 - 9 x 2 d x = 4 27

Aí está a nossa alternativa! Te vejo daqui a pouco na próxima hehehe! Até logo!

Resposta

∫ 0 2 / 3 x 3 4 - 9 x 2 d x = 4 27

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