Calcule as integrais:

b) ∫ sin 3 ⁡ x d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ sin 3 ⁡ x d x

Vamos pensar em como resolvê-la. Nós temos a função seno elevada ao cubo. Qual a técnica pode usar pra facilitar nossa vida nesse caso?

Bom, a gente pode tentar separar essa função em um produto, já que ela é uma potência, e ver no que dá. Assim, nós teremos:

sin 3 ⁡ x = sin 2 ⁡ x sin ⁡ x

Huuum, interessante. E agora a gente faz o quê com isso? A gente pode tentar usar uma identidade trigonométrica, no caso:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Isolando sin 2 ⁡ x :

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Se a gente substituir isso na integral, olha como fica:

∫ sin 3 ⁡ x d x = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x

Será que agora a gente consegue resolver. Vamos ver!

Passo 2

Galera, a gente pode tentar fazer uma substituição aqui e chamar:

u = cos ⁡ x

Derivando:

d u = - sin ⁡ x d x

Colocando na integral, nós temos:

∫ 1 - cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = ∫ 1 - u 2 ( - d u )

Jogando o sinal negativo para a fora da integral:

- ∫ 1 - u 2 d u

Agora ficou legal de resolver, né? Basta a gente fazer:

- u - u 2 + 1 2 + 1 + C

- u - u 3 3 + C

Onde C é uma constante de integração.

Agora voltando pra nossa variável x original, vamos substituir o u = cos ⁡ x no resultado:

- cos ⁡ x - cos 3 ⁡ x 3 + C

Ou

- cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

- cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

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