Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as integral indefinida a seguir:

∫ sen 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver essa integral, podemos fazer uma mudança de variável. Observe:

u = sen ⁡ x

E

d u = cos ⁡ x d x

Passo 2

Rearrumando a integral pra que o cos 3 ⁡ x suma e só fique cos ⁡ x d x ela fica assim:

∫ sen 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = ∫ sen 5 ⁡ x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ sen 5 ⁡ x ( 1 - sen 2 ⁡ x ) cos ⁡ x d x

E finalmente substituindo sen ⁡ x por u temos:

∫ u 5 1 - u 2 d u =

∫ u 5 - u 7 d u =

∫ u 5 - ∫ u 7 d u =

u 6 6 - u 8 8 + C

Passo 3

Agora é só voltar pra variável original, lembrando que u = sen ⁡ x

sen 6 ⁡ x 6 - sen 8 ⁡ x 8 + C

Resposta

sen 6 ⁡ x 6 - sen 8 ⁡ x 8 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x