Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a seguinte integral

∫ x - 1 tan 2 ⁡ x d x

Passo 1

Cara, segura na minha mão. Tem um produto de funções ali. Vamos usar integração por partes. Maaas, tan 2 ⁡ x é uma função difícil de derivar e difícil de integrar. Aí a gente vai rescrever ela.

Como? Cara, lembra daquela identidade:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x + 1

Vamos dividir tudo por cos 2 ⁡ x :

1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x ∴ sec 2 ⁡ x - 1 = tan 2 ⁡ x

Aí a gente substitui isso na integral:

∫ x - 1 tan 2 ⁡ x d x = ∫ x - 1 sec 2 ⁡ x - 1 d x =

= ∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x - ∫ x - 1 d x

= ∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x - x 2 2 + x

Agora sim a gente vai usar integração por partes nessa integral que sobrou para resolver. Vem!

Passo 2

∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x

Pensa comigo: secante ao quadrado é difícil de derivar, mas é tranquila de integrar, repara:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x

Ele é a derivada de tangente! Como ele é uma função mais tranquila de integrar, e x - 1 é uma função tranquila de derivar, a gente vai chamar elas assim:

u = x - 1 ,     d u d x = 1 ∴ d u = d x

d v = sec 2 ⁡ x   d x ∴ v = ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x

É sempre bom usar como u a função que é fácil de derivar, e como d v a função que é fácil de integrar.

Passo 3

Aí jogamos isso na fórmulinha da integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x = x - 1 tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

Aí falta calcular essa integral que apareceu. Como

∫ tan ⁡ x d x = ∫ s e n   x cos ⁡ x d x

A gente pode calcular ela fazendo a substituição simples u = cos ⁡ x . Aí fazendo isso, a gente acha que:

∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 4

Substituindo o que a gente achou nas nossas continhas:

∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x = x - 1 tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x = x - 1 tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x

Mas a gente precisa voltar lá na primeira integral (não esquece dela não!)

∫ x - 1 tan 2 ⁡ x d x = ∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x - x 2 2 + x

∫ x - 1 tan 2 ⁡ x d x = x - 1 tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 2 + x + C

Aí a gente precisa colocar a constante de integração, já que nossa integral é indefinida.

Resposta

x - 1 tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 2 + x + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x