Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais:

b   ∫ sen 5 ⁡ x cos 6 ⁡ x d x

Passo 1

Tá, a gente tem que começar essa questão pensando que conseguimos escrever um par de senos em função de cossenos e vice-versa, tudo a partir da relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Agora, caso escolhamos um dos dois para chamar de u temos que garantir que haja um d u . Como a derivada de um é um múltiplo do outro, faz mais sentido escolher como termo para guardar como d u o seno, que tem um expoente ímpar, o que faz com que ao tirarmos um deles para u sobrarão pares que podemos abrir em cossenos. Portanto, nosso u de substituição será o cosseno:

u = cos ⁡ x → d u = - sen ⁡ x d x

Passo 2

Vamos arrumar a integral agora para usar a substituição:

∫ sen 5 ⁡ x cos 6 ⁡ x d x = ∫ - sen 4 ⁡ x cos 6 ⁡ x - sen ⁡ x d x

= ∫ - 1 - cos 2 ⁡ x 2 cos 6 ⁡ x - sen ⁡ x d x

= ∫ - 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x cos 6 ⁡ x - sen ⁡ x d x

= ∫ - cos 6 ⁡ x + 2 cos 8 ⁡ x - cos 10 ⁡ x - sen ⁡ x d x

Agora fazemos a substituição mesmo:

= ∫ - u 6 + 2 u 8 - u 10 d u

= - u 7 7 + 2 u 9 9 - u 11 11

= - cos 7 ⁡ x 7 + 2 cos 9 ⁡ x 9 - cos 11 ⁡ x 11 + C

Resposta

∫ sen 5 ⁡ x cos 6 ⁡ x d x = - cos 7 ⁡ x 7 + 2 cos 9 ⁡ x 9 - cos 11 ⁡ x 11 + C

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