4. Calcule as seguintes integrais:

a) ∫ x x 2 + 2 2 d x

b) ∫ cos ⁡ x s e n 2 x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos apenas que calcular as integrais ∫ x x 2 + 2 2 d x e ∫ cos ⁡ x s e n 2 x d x .

Na primeira integral podemos usar simplesmente o método de integração polinomial, já na integral de cos ⁡ x s e n 2 x podemos usar alguma relação trigonométrica para simplificar nossos cálculos.

E aí, preparado? 😎

Passo 2

Para a primeira integral, temos

∫ x x 2 + 2 2 d x

Podemos reescrever x x 2 + 2 2 como

x x 2 + 2 2 = x x 2 + 2 x 2 + 2 = x x 4 + 4 x 2 + 4

x x 2 + 2 2 = x 5 + 4 x 3 + 4 x

Resultando em

∫ x x 2 + 2 2 d x → ∫ x 5 + 4 x 3 + 4 x d x

Integrando cada termo separadamente, temos

∫ x 5 + 4 x 3 + 4 x d x = x 5 + 1 5 + 1 + 4 x 3 + 1 3 + 1 + 4 x 1 + 1 1 + 1

∫ x 5 + 4 x 3 + 4 x d x = x 6 6 + x 4 + 2 x 2 + C

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora para a integral de cos ⁡ x s e n 2 x podemos lembrar que a derivada de s e n x = cos ⁡ x , então pelo método de substituição fazendo u = s e n x e d u = cos ⁡ x d x , temos

∫ cos ⁡ x s e n 2 x d x → ∫ 1 u 2 d u

Pelo método de integração polinomial, temos que

∫ 1 u 2 d u = u - 2 + 1 - 2 + 1 = - 1 u

Voltando u para s e n x

∫ cos ⁡ x s e n 2 x d x = - 1 s e n x + C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ x 5 + 4 x 3 + 4 x d x = x 6 6 + x 4 + 2 x 2 + C

��� cos ⁡ x s e n 2 x d x = - 1 s e n x + C

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