Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ c o s 3 x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Aqui como estamos trabalhando com funções trigonométricas, algo que precisamos ficar atento é a respeito do expoente que as nossas funções estão elevadas. Dependendo do grau, isso vai determinar qual identidade trigonométrica vamos usar.

∫ c o s 3 x d x

Se temos função seno, cosseno ou um produto delas, com pelo menos uma das potências ímpar, então isso significa que vamos usar a identidade trigonométrica:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ c o s 3 x d x

Reparem que podemos fazer o seguinte ajuste:

∫ c o s 2 x c o s ⁡ ( x ) d x

Sabendo que

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Então:

∫ 1 - s e n 2 x c o s ⁡ ( x ) d x

Agora podemos fazer uma substituição interessante!

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição simples:

u = sen ⁡ x → d u = c o s ( x ) d x

Substituindo:

∫ 1 - u ² d u

Com isso, chegamos a uma integral de potências. Resolvendo:

∫ 1 - u ² d u = u - u 3 3

Show, mas lembre-se que temos que voltar para a função trigonométrica, então:

u = s e n x

u - u 3 3 → s e n x - s e n 3 x 3 + C

Resposta

s e n x - s e n 3 x 3 + C

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