Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ s e n 4 x c o s ⁡ ( 5 x ) d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar analisando a integral que estamos trabalhando:

∫ s e n 4 x c o s ⁡ ( 5 x ) d x

Reparem que temos um produto de seno e cosseno com constantes dentro da função. Para isso, vamos usar uma regrinha estabelecida:

s e n n x cos ⁡ m x = 1 2 s e n n + m x + s e n n - m x

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ s e n 4 x c o s ⁡ ( 5 x ) d x

s e n n x cos ⁡ m x = 1 2 s e n n + m x + s e n n - m x

Com isso, nossa integral vai ficar:

∫ s e n 4 x c o s ⁡ ( 5 x ) d x = ∫ 1 2 s e n 9 x + s e n x d x

∫ 1 2 s e n 9 x + s e n x d x = 1 2 ∫ s e n 9 x d x + ∫ s e n - x d x

Reparem que com essa ferramenta a gente saiu de um produto para uma soma de funções, tornando assim nosso trabalho bem mais simples.

Passo 3

Show, com isso, vamos calcular:

1 2 ∫ s e n 9 x d x + ∫ s e n - x d x = 1 2 - cos ⁡ 9 x 9 + cos ⁡ x

Resposta

1 2 - cos ⁡ 9 x 9 + cos ⁡ x

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