Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ c o s x c o s 2 x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar analisando a integral que estamos trabalhando:

∫ c o s x c o s 2 x d x

Reparem que temos um produto de seno e cosseno com constantes dentro da função. Para isso, vamos usar uma regrinha estabelecida:

c o s n x cos ⁡ m x = 1 2 c o s ( n + m ) x + c o s ( n - m ) x

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ c o s x c o s 2 x d x

c o s n x cos ⁡ m x = 1 2 c o s ( n + m ) x + c o s ( n - m ) x

Com isso, nossa integral vai ficar:

∫ c o s x c o s 2 x d x = ∫ 1 2 c o s 3 x + c o s - x d x

∫ 1 2 c o s 3 x + c o s - x d x = 1 2 ∫ c o s 3 x d x + ∫ c o s - x d x

Reparem que com essa ferramenta a gente saiu de um produto para uma soma de funções, tornando assim nosso trabalho bem mais simples.

Passo 3

Show, com isso, vamos calcular.

1 2 ∫ c o s 3 x d x + ∫ c o s - x d x

Calculando a primeira integral:

∫ c o s 3 x d x = s e n 3 x 3

A segunda vamos ter que fazer uma pequena substituição:

∫ c o s - x d x

u = - x → d u = - d x

Substituindo:

∫ c o s - x d x = ∫ - c o s u d u = - s e n u = - s e n - x = s e n ( x )

Logo:

1 2 ∫ c o s 3 x d x + ∫ c o s - x d x = 1 2 s e n 3 x 3 + s e n ( x ) + C

Resposta

1 2 s e n 3 x 3 + s e n ( x ) + C

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