Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar analisando a integral que estamos trabalhando:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x

Reparem que temos um produto de seno e cosseno com constantes dentro da função. Para isso, vamos usar uma regrinha estabelecida:

s e n n x cos ⁡ m x = 1 2 s e n ( n + m ) x + s e n ( n - m ) x

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x

s e n n x cos ⁡ m x = 1 2 s e n ( n + m ) x + s e n ( n - m ) x

Com isso, nossa integral vai ficar:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x = ∫ 1 2 s e n 7 x + s e n - x d x

∫ 1 2 s e n 7 x + s e n - x d x = 1 2 ∫ s e n 7 x d x + ∫ s e n - x d x

Lembrando que s e n - x = - s e n ( x ) . Então:

∫ 1 2 s e n 7 x + s e n - x d x = 1 2 ∫ s e n 7 x d x - ∫ s e n x d x

Reparem que com essa ferramenta a gente saiu de um produto para uma soma de funções, tornando assim nosso trabalho bem mais simples.

Passo 3

Show, com isso, vamos calcular.

1 2 ∫ s e n 7 x d x - ∫ s e n x d x

Calculando a primeira integral:

∫ s e n 7 x d x = - c o s 7 x 7

Calculando a segunda:

∫ s e n x d x = - c o s ⁡ ( x )

Logo:

1 2 ∫ s e n 7 x d x - ∫ s e n x d x = 1 2 - c o s 7 x 7 + cos ⁡ x + C

Resposta

1 2 - c o s 7 x 7 + cos ⁡ x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral int_0^((pi)/(4)) sec (theta) tan (theta) d theta
Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x