Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ s e n ( 3 x ) s e n 5 x + 2 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar analisando a integral que estamos trabalhando:

∫ s e n ( 3 x ) s e n 5 x + 2 d x

Reparem que temos um produto de duas funções seno e cosseno com constantes dentro. Para isso, vamos usar uma regrinha estabelecida:

s e n n x s en ⁡ m x = 1 2 c o s ( n - m ) x - c o s ( n + m ) x

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ s e n ( 3 x ) s e n 5 x + 2 d x

s e n n x sen ⁡ m x = 1 2 c o s ( n - m ) x - c o s ( n + m ) x

Com isso, nossa integral vai ficar:

∫ s e n ( 3 x ) s e n 5 x + 2 d x = ∫ 1 2 c o s - 2 x - 2 - c o s 8 x + 2 d x

∫ 1 2 c o s - 2 x - 2 - c o s 8 x + 2 d x = 1 2 ∫ c o s - 2 x - 2 d x - ∫ c o s 8 x + 2 d x

Reparem que com essa ferramenta a gente saiu de um produto para uma soma de funções, tornando assim nosso trabalho bem mais simples.

Passo 3

Show, com isso, vamos calcular.

1 2 ∫ c o s - 2 x - 2 d x - ∫ c o s 8 x + 2 d x

Para resolver as nossas integrais, vamos ter que trabalhar com substituições. Começando pela primeira integral

∫ c o s - 2 x - 2 d x

u = - 2 x - 2 → d u = - 2 d x → - d u 2 = d x

Substituindo:

∫ c o s - 2 x - 2 d x = - 1 2 ∫ c o s u d u

- 1 2 ∫ c o s u d u = - s e n u 2 = - s e n - 2 x - 2 2

Lembrando que s e n - x = - s e n ( x )

- s e n - 2 x - 2 2 = s e n 2 x + 2 2

Passo 4

Show, agora vamos calcular a segunda integral:

1 2 ∫ c o s - 2 x - 2 d x - ∫ c o s 8 x + 2 d x

O processo vai exatamente igual:

∫ c o s 8 x + 2 d x

v = 8 x + 2 → d v = 8 d x → d v 8 = d x

Substituindo:

∫ c o s 8 x + 2 d x = 1 8 ∫ c o s v d v = s e n v 8

s e n v 8 = s e n 8 x + 2 8

Juntando tudo:

∫ s e n ( 3 x ) s e n 5 x + 2 d x = s e n 2 x + 2 2 + s e n 8 x + 2 8 + C

Resposta

s e n 2 x + 2 2 + s e n 8 x + 2 8 + C

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