Calcule as seguintes integrais:

(b) ∫ s e n 6 x cos 5 ⁡ x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, vamos calcular a integral de uma função dada por s e n 6 x cos 5 ⁡ x .

Olhando para a função, vemos que da forma como ta não é nada fácil obter essa integral então temos que arrumar alguma forma de simplificar essa função.

E aí! Como vamos fazer isso?

Lembrando de relações trigonométricas, sabemos que c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos escrever nossa função como

s e n 6 x cos 5 ⁡ x = s e n 6 x cos 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x

Correto?

Se a gente substituir a relação que fizemos antes na nossa nova função, vamos obter

s e n 6 x 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x

Ainda parece difícil, não é?

Mas agora podemos fazer algo que vai facilitar muito nossos cálculos, quer ver?

Bora lá!

Passo 2

Se a gente aplicar o método de substituição u d u para u = s e n x e d u = cos ⁡ x , temos

∫ s e n 6 x 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x d x → ∫ u 6 1 - u 2 2 d u

Agora ficou bom, não é?

Calculando a distributiva da função de integração, temos

u 6 1 - u 2 2 → u 6 1 - 2 u 2 + u 4

Calculando a distribuição de u 6

u 6 1 - 2 u 2 + u 4 → u 6 - 2 u 8 + u 10

Com isso, nossa integral será

∫ u 6 - 2 u 8 + u 10 d u

Como a integral da soma é a soma das integrais, logo

∫ u 6 - 2 u 8 + u 10 d u = ∫ u 6 d u - ∫ 2 u 8 d u + ∫ u 10 d u

Dessa forma, a gente calcula cada integral individualmente, por exemplo:

Para a integral de u 6 , calculamos pelo método da integração polinomial onde somamos 1 na potência da variável e dividimos a variável pelo resultado da soma na soma potencia

∫ u 6 d u = u 6 + 1 6 + 1 = u 7 7

Entendeu? A gora vamos calcular os outros dois! 😁

Passo 3

Para a integral de 2 u 8 pelo mesmo método de integração, temos

∫ 2 u 8 d u = 2 u 8 + 1 8 + 1 = 2 u 9 9

Já para a integral de u 10 , temos

∫ u 10 d u = u 10 + 1 10 + 1 = u 11 11

Dessa forma, substituindo os resultados nossa integral será

∫ u 6 - 2 u 8 + u 10 d u = u 7 7 - 2 u 9 9 + u 11 11

Não podemos deixar o resultado em função de u , então trocamos u por s e n x de volta, logo

∫ s e n 6 x cos 5 ⁡ x d x = s e n 7 x 7 - 2 s e n 9 x 9 + s e n 11 x 11 + C

Não podemos esquecer da constante de integração!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ s e n 6 x cos 5 ⁡ x d x = s e n 7 x 7 - 2 s e n 9 x 9 + s e n 11 x 11 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
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