Calcule as seguintes integrais

e) ∫ s e c 6 ( x ) d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos resolver integrais trigonométricas indefinidas.

∫ s e c 6 ( x ) d x

Parece que a coisa ficou um pouquinho mais feia, mas confia que essa é moleza pessoal. Vamo junto!

Nesse exercício, vamos usar uma leve canalhice e aplicar uma substituição fundamental que muito provavelmente vai aparecer bastante pra vocês no futuro, então atenção!

∫ s e c 6 ( x ) d x = ∫ s e c ² ( x ) s e c 4 ( x ) d x

Daqui, vamos usar uma relação trigonométrica que é protagonista quase sempre que tem uma secante perdida na integral, facinha de provar:

t g 2 x + 1 = s e n 2 x c o s 2 x + 1

= s e n 2 x + c o s ² ( x ) c o s 2 x = 1 c o s 2 x

1 c o s 2 x = s e c ² ( x )

Então:

1 + t g ² ( x ) = s e c 2 x

Beleza

∫ s e c ² ( x ) s e c 4 ( x ) d x = ∫ s e c ² ( x ) ( 1 + t g ² ( x ) ) 2 d x

Daí vocês podem se perguntar: “ué, por que não usar essa relação e elevar a seis?”

Calma gafanhotos, tudo é estrategicamente arquitetado hehe.

Passo 2

Agora vem o jutsu de a substituição:

u = t g ( x )

d u = s e c ² ( x ) d x

d u s e c 2 x = d x

Sigamos em frente, mas sempre olhando para o lado:

∫ s e c ² ( x ) ( 1 + t g ² ( x ) ) 2 ( x ) d x = ∫ s e c ² ( x ) ( 1 + u ² ) 2 d u s e c 2 x

= ∫ ( 1 + u ² ) 2 d u

Beleza, desenvolveremos o binômio:

∫ ( 1 + u ² ) 2 d u = ∫ ( 1 + 2 u 2 + u 4 ) d u

= u + 2 3 u 3 + 1 5 u 5 + C

Lembrando que estabelecemos u = t g ( x ) , temos então:

t g x + 2 3 t g x 3 + 1 5 t g x 5 + C

Finished, até a próxima o/

Resposta

e) ∫ s e c 6 ( x ) d x = t g x + 2 3 t g x 3 + 1 5 t g x 5 + C

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