13. Escreva

∫ 0 2 a r c t g π x - a r c t g x d x

como uma integral dupla e esboce graficamente a região de integração correspondente.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão nosso objetivo é reescrever a integral dada em forma de integral dupla definida e esboçar a região de integração.

E aí, como podemos fazer isso? 🤔

A integral dada é ∫ 0 2 a r c t g π x - a r c t g x d x , a partir dela podemos ver que x é definido entre 0 e 2 , mas precisamos obter outra integral antes da integral de x .

Bora ver como fazemos isso? 😎

Passo 2

A função que aparece dentro da integral é a função a r c t g , ou seja, temos que obter uma integral que resulte em a r c t g π x - a r c t g x .

Sabemos que a integral de uma função qualquer definida em um intervalo é dada por

∫ a b f y d y = F b - F a

O podemos perceber dessa função de integração é que os limites de integração a e b , são no nosso caso x e π x .

E qual é a função que quando integrada resulta em a r c t g ? A derivada de a r c t g , não é?

Então f y = d a r c t g y d y , pelo teorema fundamental do cálculo, vemos que

f y = d a r c t g y d y = 1 1 + y 2

Assim, montando a integral dupla

∫ 0 2 ∫ a b f y d y d x

Onde a = x , b = π x e f y = 1 1 + y 2 , temos

∫ 0 2 ∫ x π x 1 1 + y 2 d y d x

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora vamos obter o gráfico da região de integração.

Pra isso, podemos ver na integral que x varia no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 e y varia entre x ≤ y < π x .

Esboçando as equações y = π x , y = x , x = 0 e x = 2 , temos

Então a região hachurada em roxo é a nossa região de integração.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 2 ∫ x π x 1 1 + y 2 d y d x

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral int_0^((pi)/(4)) sec (theta) tan (theta) d theta
Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x