Ivan, Luciane, Maria Inez, Mykola e Sonia foram encarregados de resolver a integral ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x . A resolução e a resposta de cada estão abaixo.

Ivan. ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 1 - c o s 2 ( x ) ) c o s 3 ( x ) s e n ( x ) d x = - ∫ ( 1 - u 2 ) u 3 d u =

= u 6 6 - u 4 4 + C = c o s 6 ( x ) 6 - c o s 4 ( x ) 4 + C

Luciane. ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 1 - s e n 2 ( x ) ) s e n 3 ( x ) c o s ( x ) d x = ∫ ( 1 - u 2 ) u 3 d u =

= u 4 4 - u 6 6 + C = s e n 4 ( x ) 4 - s e n 6 ( x ) 6 + C

Maria Inez. ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( s e n ( x ) c o s ( x ) ) 3 d x = ∫ ( s e n ( 2 x ) 2 ) 3 d x =

= 1 8 ∫ ( 1 - c o s 2 ( 2 x ) ) s e n ( 2 x ) d x = - 1 16 ∫ ( 1 - u 2 ) d u = u 3 48 - u 16 + C =

c o s 3 ( 2 x ) 48 - c o s ( 2 x ) 16 + C

Mykola. Primeiro observemos que s e n 3 ( y ) = 3   s e n ( y ) - s e n ( 3 y ) 4 . Usando os dois primeiros passos do desenvolvimento da Maria Inez,

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( s e n ( x ) c o s ( x ) ) 3 d x = ∫ ( s e n ( 2 x ) 2 ) 3 d x =

= 1 8 ∫ ( 3   s e n ( 2 x ) - s e n ( 6 x ) 4 ) d x   =   1 32 ∫ ( 3   s e n ( 2 x ) - s e n ( 6 x ) ) d x   = c o s ( 6 x ) 192 - 3 c o s ( 2 x ) 64 + C .

Sonia. Além da expressão apontada pelo Mykola para s e n 3 ( y ) , usaremos também que c o s 3 = 3   c o s ( y )   +   c o s ( 3 y ) 4 . Assim,

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 3   s e n ( x ) - s e n ( 3 x ) 4 ) ( 3   c o s ( x ) + c o s ( 3 x ) 4 ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) + 3   s e n ( x )   c o s ( 3 x )   -   3   c o s ( x )   s e n ( 3 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) + 3 (   s e n ( x )   c o s ( 3 x )   -   c o s ( x )   s e n ( 3 x ) )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) + 3   s e n ( - 2 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) - 3   s e n ( 2 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) - 6   s e n ( x ) c o s ( x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 3   s e n ( x ) c o s ( x ) - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

3 16 ∫   s e n ( x ) c o s ( x ) d x - ∫ s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) d x = [ U s a n d o   a s   m u d a n ç a s   u = s e n ( x )   e   v = s e n ( 3 x ) ]

3 16 ∫   u d u - 1 48 ∫ v d v = 3 u 2 32 - v 2 96 + C = 3   s e n 2 ( x ) 32 - s e n 2 ( 3 x ) 96 + C

Quem está certo? Todos obtiveram a mesma resposta?

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Nós temos aqui um enunciado gigantesco! Está apresentando diferentes resoluções para uma mesma integral, feitas por Ivan, Luciane, Maria Inez, Mykola e Sonia. A integral que estão tentando resolver é a seguinte

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x

Para sabermos quem está correto, vamos verificar as passagens de cada resolução individualmente, e ver se alguma passagem está incorreta! Se todas as passagens de todo mundo estiverem corretas, obviamente as respostas, mesmo que escritas de maneira diferente, são equivalentes! Vamos lá!

Passo 2

A resposta do Ivan é tal que

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 1 - c o s 2 ( x ) ) c o s 3 ( x ) s e n ( x ) d x

aqui ele usou que s e n 3 ( x ) = s e n 2 ( x ) s e n ( x ) , e também que s e n 2 ( x ) = 1 - c o s 2 ( x ) . Então, até aqui tudo bem. A próxima passagem usa então que

u = c o s ( x )   e   d u   = - s e n ( x ) d x

e, a integral se torna

∫ ( 1 - c o s 2 ( x ) ) c o s 3 ( x ) s e n ( x ) d x = - ∫ ( 1 - u 2 ) u 3 d u

se distribuirmos a integral acima e então usar a seguinte relação para a primitiva

∫ u n d u = 1 n + 1 u n + 1 + C

Obtemos finalmente que

- ∫ ( 1 - u 2 ) u 3 d u = u 6 6 - u 4 4 + C = c o s 6 ( x ) 6 - c o s 4 ( x ) 4 + C

Então, a resolução do Ivan está correta em todas as passagens! A resolução da Luciane é bastante similar, mas usando que c o s 3 ( x ) = c o s 2 ( x ) c o s ( x ) , lembrando que c o s 2 ( x ) = 1 - s e n 2 ( x ) , e a substituição

u = s e n ( x )   e   d u = c o s ( x ) d x

Então, a resposta dela também não apresenta problemas em suas passagens! Vamos analisar as que são diferentes agora! Bora lá!

Passo 3

Maria Inez usou que s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) = ( s e n ( x ) c o s ( x ) ) 3 , assim com a relação

s e n ( x ) c o s ( x ) = 1 2 s e n ( 2 x )

ou seja, temos que

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( s e n ( x ) c o s ( x ) ) 3 d x = ∫ ( s e n ( 2 x ) 2 ) 3 d x

o processo agora é o mesmo das outras resoluções, mas note que eles usam que s e n 3 ( 2 x ) = s e n 2 ( 2 x ) s e n ( 2 x ) e que s e n 2 ( 2 x ) = 1 - c o s 2 ( 2 x ) , de forma que a substituição agora é

u = c o s ( 2 x ) e d u = - 2   s e n ( 2 x )

obtendo então que

1 8 ∫ ( 1 - c o s 2 ( 2 x ) ) s e n ( 2 x ) d x = - 1 16 ∫ ( 1 - u 2 ) d u = u 3 48 - u 16 + C

em que na última passagem usando a mesma identificação das primitivas que fizemos anteriormente! Então, essa solução também está correta! Ainda faltam mais duas! Bora lá!

Passo 4

Mykola usa que s e n 3 ( x ) = 3   s e n ( x ) - s e n ( 3 x ) 4 , que também é uma relação verdadeira, ou seja, além das passagens idênticas a de Luciane, que resultam em

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( s e n ( x ) c o s ( x ) ) 3 d x = ∫ ( s e n ( 2 x ) 2 ) 3 d x

a nova identidade nos leva à a seguinte expressão

∫ ( s e n ( 2 x ) 2 ) 3 d x = 1 8 ∫ ( 3   s e n ( 2 x ) - s e n ( 6 x ) 4 ) d x   =   1 32 ∫ ( 3   s e n ( 2 x ) - s e n ( 6 x ) ) d x

As duas integrais restantes podem ser identificadas utilizando que

∫ s e n ( a x ) d x = - 1 a   c o s ( a x )   + C

Portanto, o resultado final é realmente tal que

1 32 ∫ ( 3   s e n ( 2 x ) - s e n ( 6 x ) ) d x = - 3 64 c o s ( 2 x ) + 1 192 c o s ( 6 x )   + C

Ou seja, Mykola também está correto! Será que o último também?

Passo 5

Finalmente, será que a Sonia também está correta? Ela usa a relação que é correta

c o s 3 ( x ) = 3   c o s ( x )   +   c o s ( 3 x ) 4

e, também a relação que Mykola utiliza para o s e n 3 ( x ) . Podemos escrever então que

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 3   s e n ( x ) - s e n ( 3 x ) 4 ) ( 3   c o s ( x ) + c o s ( 3 x ) 4 ) d x

distribuindo os produtos, e identificando que

s e n ( a - b ) = s e n ( a ) c o s ( b ) - c o s ( a ) s e n ( b )

podemos juntar alguns termos como

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) + 3   s e n ( - 2 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

como temos que s e n ( - a x ) = - s e n ( a x ) . Obtemos finalmente que

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) - 3   s e n ( 2 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x

assim como a relação anterior que foi usada por Maria Inez, podemos escrever o termo de s e n ( 2 x ) , para obtermos

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) - 6   s e n ( x ) c o s ( x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x

juntando alguns termos, obtemos que

1 16 ∫ ( 3   s e n ( x ) c o s ( x ) - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x

de forma que finalmente podemos usar as substituições

u = s e n ( x ) e d u = c o s ( x ) d x

e, também que

v = s e n ( 3 x ) e d v = 3   c o s ( 3 x ) d x

e, a nossa integral se torna simplesmente

3 16 ∫   u d u - 1 48 ∫ v d v = 3 u 2 32 - v 2 96 + C = 3   s e n 2 ( x ) 32 - s e n 2 ( 3 x ) 96 + C

Maravilha! Se todas as passagens estão corretas! Então, a integral está correta, e sim, todas as respostas são equivalentes! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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