Lembrando que duas funções que possuem a mesma derivada em um intervalo diferem por uma constante, determine a função y ( x ) que satisfaz as condições abaixo.

b )   y ' ( x )   =   1   +   t a n ² ( x ) ,   y ( 0 )   = 2  

Passo 1

Olá pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar?

Bom a questão quer que encontremos a função primitiva e sua respectiva constante, é por isso que a questão nos informa a derivada ( y ' ) e um ponto que pertence a nossa função ( y ) em questão. Como poderemos começar???

Passo 2

Pessoal, o primeiro passo é encontrar a função primitiva por meio da aplicação da integral e em seguida deveremos substituir o ponto em questão para encontrarmos a respectiva constante. Bora fazer juntinhosss!

∫ y ' ( x )   = ∫ ( 1   +   t a n ² ( x ) ) d x  

Sabemos que de acordo com as identidades trigonométricas 1 +   t a n ² ( x )   =   s e c ² ( x ) , logo utilizaremos esse artifício para facilitar nossos cálculos. Assim,

∫ y ' ( x )   = ∫ ( 1   +   t a n ² ( x ) )   =   ∫ s e c ² ( x )   =   t g ( x )   + K  

E aí, finalizamos??! Calma lá que ainda tá faltando a melhor parte, precisamos encontrar o valor da nossa constante.

Passo 3

Até agora encontramos o valor da nossa função primitiva y ( x )   = t g ( x )   + K , más ainda falta encontrarmos o valor da constante K . E para isso, utilizaremos o ponto que o enunciado nos deu que y ( 0 )   =   2 .

y ( x )   = t g ( x )   + K

y ( 0 )   = t g ( 0 )   + K   =   2

2   = 0   + K  

K   = 2

Por fim, a solução particular será

∫ y ' ( x ) = t g ( x )   + 2

Consegui ajudar vocês, pimpolhos?! Espero que sim!

Uma ótima semana e bons estudos! :)

Resposta

∫ y ' ( x ) = t g ( x )   + 2

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