Mostre que

∫ 0 ∞ ( s e n ( x ) x ) 2 d x = π .

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que

∫ 0 ∞ ( s e n ( x ) x ) 2 d x = π .

Primeiras coisas primeiro, pelo que conheço de integrais, eu estou seguro em dizer que a integral acima deveria dar π 2 . Eu vou demonstrar este resultado, é possível achar diversas referências disso pela internet. Resolver essa integral vai precisar de um pouco de criatividade e paciência, então vamos com calma! Belezinha? Vem comigo!

Passo 2

Vamos primeiro usar a relação de meio ângulo para s e n 2 ( x ) , temos que

s e n 2 ( x ) = 1 2 [ 1 - c o s ( 2 x ) ]

Ótimo! Isso faz a nossa integral se tornar

∫ 0 ∞ ( s e n ( x ) x ) 2 d x = 1 2 ∫ 0 ∞ [ 1 - c o s ( 2 x ) x 2 ] d x

aqui a criatividade já começa a ser necessária! Vamos usar a seguinte verdade, temos que c o s ( 0 x ) = 1 , portanto, podemos escrever que

1 2 ∫ 0 ∞ [ 1 - c o s ( 2 x ) x 2 ] d x = 1 2 ∫ 0 ∞ 1 x [ c o s ( 0 x ) - c o s ( 2 x ) x ] d x

note que eu também separei no denominador x 2 = x x . Tudo bem até aqui? Tenta absorver o que fiz e vamos para o próximo passo!

Passo 3

Esse passo é um pouco incomum nos métodos de resolver integrações, mas a parte que eu deixei em colchetes no integrando anterior (você pode testar se quiser) é equivalente à

c o s ( 0 x ) - c o s ( 2 x ) x = ∫ 0 2 s e n ( t x ) d t

Portanto, a nossa integral pode ser escrita como

1 2 ∫ 0 ∞ 1 x [ c o s ( 0 x ) - c o s ( 2 x ) x ] d x = 1 2 ∫ 0 ∞ 1 x [ ∫ 0 2 s e n ( t x ) d t ] d x

Que ótimo, fui resolver uma integral e fiz surgir mais uma! Mas isso não é um problema, na verdade é a nossa salvação! Saca só!

Passo 4

Como as variáveis t e x são independentes podemos inverter a ordem da integração a vontade, temos que

1 2 ∫ 0 2 [ ∫ 0 ∞ s e n ( t x ) x d x ] d t

agora, se eu multiplicar e dividir o integrando por t , tenho que

1 2 ∫ 0 2 [ ∫ 0 ∞ s e n ( t x ) t x t d x ] d t

de forma que posso fazer a mudança de variáveis

x ' = t x e d x ' = t d x

obtendo a seguinte integral

1 2 ∫ 0 2 [ ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' d x ' ] d t

Essa integral que surgiu em x ' é um problema de matemática clássico e resulta em π / 2 . Eu estava na dúvida se tomava o resultado como conhecido ou demonstrava, mas, para não te deixar na mão! Vamos continuar a partir daqui! Bora lá!

Passo 5

Essa integral por si só já é uma baita trabalheira! Então vamos com calma, ela também requer uns métodos não muito comuns. O que vou fazer aqui é introduzir um parâmetro positivo, chamemos de b , que irá nos permitir simplificar ainda mais o integrando, vamos escrever a seguinte integral

I ( b ) = ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' e - b x ' d x '

Essa não é a nossa integral, mas a nossa integral é recuperada se fizermos

l i m b → 0 ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' e - b x ' d x ' = ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' d x '

guarde essa informação, pois esse é o segredo de nossa vitória! Tá, mas como resolver a integral do lado esquerdo? Antes de integrar vamos dar um passo atrás e derivar essa função em relação a b , temos que

∂ I ( b ) ∂ b = ∂ ∂ b [ ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' e - b x ' d x ' ] = ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' ∂ ∂ b [ e - b x ' ] d x '

note que eu só pude entrar com a derivada porquê a minha integral só se importa com x ' . A vantagem de fazer isso é que derivando a exponencial, temos que

I ' ( b ) = ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' ∂ ∂ b [ e - b x ' ] d x ' = - ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) e - b x ' d x '

Maaaaaravilhoso! Sabe por quê? O lado direito disso nós sabemos resolver! Você pode fazer a integral por partes se quiser, mas isso já está indo longe demais. Esse lado direito é a transformada de laplace da função f ( x ' ) = s e n ( x ' ) , portanto, podemos olhar em uma tabela para encontrar que

∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) e - b x ' d x ' = 1 1 + b 2

Ou seja, temos que

I ' ( b ) = - 1 1 + b 2

Uff… finalmente parece que estamos chegando em algum lugar! Consegue imaginar o que fazer agora?

Passo 6

Como temos agora apenas uma função de b , podemos integrar ambos os lados para obter

I ( b ) = - ∫ 1 1 + b 2 d b

essa integral é bem conhecida como

∫ 1 1 + b 2 = a r c t g ( b ) + C

Portanto, temos que

I ( b ) = - a r c t g ( b ) + C

Okay! Mas, ainda precisamos achar essa constante! Vamos lembrar que definimos I ( b ) , temos que

I ( b ) = ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' e - b x ' d x ' = - a r c t g ( b ) + C

Uma maneira simples de achar quem é essa constante, é fazer o limite no infinito dos dois lados dessa expressão, temos o seguinte

l i m b → ∞ ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' e - b x ' d x ' = l i m b → ∞ [ - a r c t g ( b ) + C ]

Como estamos fazendo o limite apenas em b , temos que a exponencial tende a 0 . Usando também que o limite de constantes é sempre a própria constante, e que

l i m b → ∞ a r c t g ( b ) = π / 2

Temos que

0 = - π / 2 + C

Portanto, temos a constante C = π / 2 . Ótimo! Agora conseguimos finalmente achar a nossa integral!

Usando o valor da constante, temos que

I ( b ) = ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' e - b x ' d x ' = - a r c t g ( b ) + π / 2

Mas não é isso que queremos, lembra da informação que pedi para guardar lá atrás? A integral que queremos é o limite quando b → 0 , como temos que a r c t g ( 0 ) = 0 , obtemos simplesmente que

∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' d x ' = π / 2

Pensei que nunca chegaria nisso! Ahahaha, mas ainda não acabou! Volta lá no enunciado, não é isso que queremos! Só mais um passinho, eu prometo! Vem comigo!

Passo 7

Substituindo o resultado que obtivemos no passo anterior da relação que tínhamos obtido lá atrás, temos que

1 2 ∫ 0 2 [ ∫ 0 ∞ s e n ( x ' ) x ' d x ' ] d t = 1 2 ∫ 0 2 π 2 d t

bem… isso é a integral de uma constante, então, temos simplesmente que

1 2 ∫ 0 2 π 2 d t = π 4 ∫ 0 2 d t = π 2

Ou resumindo, temos que

∫ 0 ∞ ( s e n ( x ) x ) 2 d x = π 2

Como eu disse! O enunciado provavelmente está errado! A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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