Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Resolva a integral multiplicando e dividindo o integrando pelo conjugado.

∫ sec ⁡ x 1 + sen ⁡ x d x

Passo 1

Multiplicando pelo conjugado:

sec ⁡ x 1 + sen ⁡ x = sec ⁡ x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

= sec ⁡ x - sec ⁡ x . sen ⁡ x 1 - sen 2 ⁡ x = sec ⁡ x - sec ⁡ x . sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

E como sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , a integral que temos que calcular é:

∫ sec 3 ⁡ x - sec 3 ⁡ x . sen ⁡ x d x

= ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x . sen ⁡ x d x

Passo 2

Essa integral da secante ao cubo é clássica, talvez você até já tenha se deparado com ela. A boa é fazer:

sec 3 ⁡ x = sec ⁡ x . sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x tg 2 ⁡ x + 1

= sec ⁡ x . tg 2 ⁡ x + sec ⁡ x

Ou seja:

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x . tg 2 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Passo 3

Caímos em 2 integrais, então vamos por partes. No caso, literalmente, vamos integrar por partes hahaha. Pra calcular:

∫ sec ⁡ x . tg 2 ⁡ x d x

Fazemos

u = tg ⁡ x ⇒ d u = sec 2 ⁡ x d x v = sec ⁡ x ⇒ d v = sec ⁡ x . tg ⁡ x d x

Assim:

sec ⁡ x . tg 2 ⁡ x = u   d v

Fazendo a integração por partes:

∫ sec ⁡ x . tg 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x . sec ⁡ x - ∫ sec ⁡ x . sec 2 ⁡ x d x

= tg ⁡ x . sec ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 4

E a outra integral que temos é a da secante, que também é bem clássica. Lembra dela? Vimos na teoria:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Mas por enquanto não vamos nos preocupar com a constante, botamos ela no fim.

Passo 5

Enfim, juntando tudo:

∫ sec 3 ⁡ x d x = tg ⁡ x . sec ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

Daí:

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = tg ⁡ x . sec ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

⇒ ∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 tg ⁡ x . sec ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

Ok, mas ainda não acabou!

Passo 6

Ainda falta a outra integral:

∫ sec 3 ⁡ x . sen ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Fazendo a famosa substituição

u = cos ⁡ x ⇒ d u = - sen ⁡ x d x ,

temos:

- ∫ d u u 3 = - ∫ u - 3 d u

= u - 2 2 = 1 2 u 2

= 1 2 cos 2 ⁡ x = 1 2 sec 2 ⁡ x

Passo 7

Portanto, depois dessas contas todas, obtemos:

∫ sec ⁡ x 1 + sen ⁡ x d x = ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x . sen ⁡ x d x

= 1 2 tg ⁡ x . sec ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x - 1 2 sec 2 ⁡ x + C

Resposta

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x