Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere uma função continuamente diferenciável z = f ( x , y ) . Sabendo que

f 1,1 = 2

f x 1,1 > 0

E u = ( 1 , - 1 ) é um vetor tangente à curva de nível f x , y = 2 no ponto ( 1,1 ) , qual das equações abaixo poderia representar a equação de um plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,1 , 2 ) ?

  1. x - 1 - y - 1 + 3 z - 2 = 6
  2. x + y + 3 z + 4 = 0
  3. x - 1 + y - 1 + 3 z - 2 = 0
  4. x + y - 3 z + 4 = 0
  5. x - y + 2 z + 6 = 0

Passo 1

Beleza, vamos tentar ir seguindo o passo a passo de plano tangente para encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função.

Temos

F x , y , z = f x , y - z

Pois não sabemos a definição da f .

Assim, o gradiente de F é

∇ F = ( f x , f y , - 1 )

Beleza, mas não sabemos quem são f x e f y . AINDA.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos o vetor   u = ( 1 , - 1 ) , que é um vetor tangente à curva de nível f x , y = 2 no ponto ( 1,1 ) .

Além disso, sabemos que o vetor gradiente de f , o tal do vetor ( f x , f y ) que queremos descobrir, é perpendicular à curva de nível de f .

Isso quer dizer então que o vetor u e o vetor gradiente de f são vetores perpendiculares, logo, o produto escalar entre eles é nulo.

Assim,

u ∙ ∇ f 1,1 = 0

1 , - 1 ∙ f x , f y = 0

f x - f y = 0

f x = f y

E isso é tudo que podemos conseguir, pois não temos informações suficientes para descobrir os valores de f x   e consequentemente de f y e depois achar exatamente e equação do plano tangente.

Beleza.

Mas, substituindo na equação do plano, temos algo mais ou menos assim:

x - 1 , y - 1 , z - 2 ⋅ ( f x , f x , - 1 ) = 0

f x x - 1 + f x y - 1 - ( z - 2 ) = 0

Passo 3

A outra informação que temos é que o ponto de tagencia é o ponto ( 1,1 , 2 ) , ou seja, esse ponto deve satisfazer a equação do plano.

Vamos testar então nas equações das opções pra ver se já eliminamos alguma?

  1. 1 - 1 - 1 - 1 + 3 2 - 2 = 6   ⇒ 0 = 6   ×
  2. 1 + 1 + 3 . 2 + 4 = 0   ⇒ 12 = 0   ×  
  3. 1 - 1 + 1 - 1 + 3 2 - 2 = 0   ⇒ 0 = 0   o k
  4. 1 + 1 - 3 . 2 + 4 = 0   ⇒ 0 = 0   o k
  5. 1 - 1 + 2 . 2 + 6 = 0   ⇒ 10 = 0   ×

Tá vendo, foi uma boa tática!

Eliminamos 4 alternativas!!

Agora vamos analisar só as duas que sobraram.

x - 1 + y - 1 + 3 z - 2 = 0

x + y - 3 z + 4 = 0

Comparando com a nossa equação do plano:

f x x - 1 + f x y - 1 - ( z - 2 ) = 0

Já descartamos logo essa primeira opção aí, pois o que está multiplicando o ( z - 2 ) é um 3 e já sabemos que não é nada disso né... A única coisa nessa vida que temos certeza é que o coeficiente que multiplica o ( z - 2 ) é - 1 , pois é a derivada de

F x , y , z = f x , y - z

Em relação a z .

Beleza?

Então nossa resposta é o plano

x + y - 3 z + 4 = 0

Resposta

Letra d

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