Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia

Considere a função f x , y = x ϕ x 2 - y 2 em que ϕ : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f no ponto a , a , f a , a contém a origem.

Passo 1

Vamos lá... Por enquanto ignoremos a parte do “mostre que”. Por que? Bom, por que pra mostrar que o plano tangente tem ou não qualquer coisa, primeiro precisamos dele! Foquemos então em encontrar esse plano tangente :)

Sabemos que o plano tangente é definido pelo produto escalar entre o vetor gradiente da superfície e os vetores do próprio plano. Então, vamos começar calculando as derivadas parciais e formando o vetor gradiente!

Nossa função é:

z = f x , y = x ϕ x 2 - y 2

Então, podemos dizer que:

F x , y , z = x ϕ x 2 - y 2 - z

Derivando-a em relação a x , usaremos a regra do produto entre x e ϕ x 2 - y 2 , além da regra da cadeia para derivar ϕ x 2 - y 2 :

F x x , y , z = 1 . ϕ x 2 - y 2 + ϕ ' x 2 - y 2 . 2 x . x

F x x , y , z = ϕ x 2 - y 2 + 2 x 2 . ϕ ' x 2 - y 2

Derivando agora em relação a y , usando apenas a regra da cadeia,

F y x , y , z = x ϕ ' x 2 - y 2 . - 2 y

F y x , y , z = - 2 x y . ϕ ' x 2 - y 2

E a derivada em relação a z é - 1 , por que ele tá sozinho ali no canto com um “menos” na frente.

Montando o vetor gradiente, temos:

∇ F x , y , z = ϕ x 2 - y 2 + 2 x 2 . ϕ ' x 2 - y 2 ,   - 2 x y . ϕ ' x 2 - y 2 ,   - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos colocar o ponto dado pelo enunciado, a , a , f a , a , no vetor gradiente:

∇ F a , a , f a , a = ϕ a 2 - a 2 + 2 a 2 . ϕ ' a 2 - a 2 ,   - 2 a . a . ϕ ' a 2 - a 2 ,   - 1

Ajeitando e lembrando que f a , a =   a ϕ a 2 - a 2 = a ϕ 0 ,

∇ F a , a , a ϕ 0 = ϕ 0 + 2 a 2 . ϕ ' 0 ,   - 2 a 2 ϕ ' 0 ,   - 1

Show, agora temos o vetor gradiente exatamente como usaremos na equação do plano tangente :D

Passo 3

Tendo o ∇ f no ponto que precisamos, só fazer o produto escalar entre ele e o vetor genérico do plano x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 . Sabendo que x 0 , y 0 , z 0 = a , a , f a , a = a , a , a ϕ 0 , então a equação do plano fica:

ϕ 0 + 2 a 2 . ϕ ' 0 ,   - 2 a 2 ϕ ' 0 ,   - 1 . x - a , y - a , z - a ϕ 0 = 0

Passo 4

Agora vem o pulo do gato, que vai fazer você economizar um tempinho: a questão não está pedindo a equação do plano tangente, ela só pergunta se o plano passa ou não pela origem! Assim, tudo o que precisamos fazer é substituir x , y , z por 0,0 , 0 e ver se a equação continua fazendo sentido, ou seja, não podemos encontrar nada do tipo k = 0 , em que k é qualquer coisa diferente de 0 , sacou?

ϕ 0 + 2 a 2 . ϕ ' 0 ,   - 2 a 2 ϕ ' 0 ,   - 1 . x - a , y - a , z - a ϕ 0 = 0

Colocando os valores mencionados para x ,   y e z ,

ϕ 0 + 2 a 2 . ϕ ' 0 ,   - 2 a 2 ϕ ' 0 ,   - 1 . - a , - a , - a ϕ 0 = 0

Desenvolvendo o produto escalar,

- a . ϕ 0 - 2 a 3 . ϕ ' 0 + 2 a 3 . ϕ ' 0 + a . ϕ 0 = 0

Vamos que temos termos opostos, então o lado esquerdo da equação realmente se anula!

0 = 0

E aí esta, provamos que a origem está contida no plano tangente!

Resposta

A origem está contida no plano tangente.

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