Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P2, 2016.1, questão 1c

Considere a função

f x , y = x y e x y

Encontre a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de f em ( 1,0 , 0 ) , explicitando o normal ao plano neste ponto.

Passo 1

Simples, apenas seguir o nosso passo-a-passo, lembra dele?

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
  7. Substituir na expressão do plano x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo f ( x , y ) por z na equação:

z = x y e x y

Jogando tudo para o lado esquerdo na equação e deixando zero no lado direito:

z - x y e x y = 0

E chamando isso de F ( x , y , z )

F x , y , z = z - x y e x y

Passo 3

Show, agora, calculando o gradiente de F :

∇ F x , y , z = F x , F y , F z

F x = - y e x y - x y e x y . y = - y e x y 1 + x y

F y = - x e x y - x y e x y . x = - x e x y 1 + x y

F z = 1

Assim

∇ F x , y , z = - y e x y 1 + x y   ,   - x e x y 1 + x y   ,   1  

Passo 4

No ponto de tangencia ( 1,0 , 0 ) , temos

∇ F 1 , 0 , 0 = - 0 e 1.0 1 + 1.0   ,   - 1 e 1.0 1 + 1.0   ,   1  

∇ F 1,0 , 0 = 0   , -   1   ,   1

Segundo o item 6 do nosso passo a passo, esse é o vetor normal ao plano no ponto de tangencia.

n → = ∇ F 1,0 , 0 = 0   , -   1   ,   1

Passo 5

O que falta para acharmos a equação do plano tangente agora é substituir na equação do plano. Vamos terminar essa bagaça então

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

x , y , z ⋅ 0   , -   1   ,   1 = 1,0 , 0 ⋅ 0   , -   1   ,   1

- y + z = 0

z = y

Resposta

O vetor normal é

n → = 0   , -   1   ,   1

E a equação cartesiana do plano tangente é

z = y

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