Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Considere a superfície S : x 2 + y 2 + 4 z 2 - 6 a x y z = 37 . Determine o valor de a para que o plano tangente a S no ponto (0, -1, 3) contenha o ponto (1, -2, 1).

Passo 1

Para começar vamos precisar lembrar da equação do plano tangente! Ele nos é dado por:

f x P o x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

Lembrando que f x ,     f y   e   f z são as derivadas em função de x, y e z respectivamente, da F ( x , y , z ) que descobriremos a partir da superfície e P o = ( x 0   ,   y 0 ,   z 0 ) .

Como nossa superfície é S : x 2 + y 2 + 4 z 2 - 6 a x y z = 37 , podemos reescrever como

F x , y , z = x 2 + y 2 + 4 z 2 - 6 a x y z - 37

Fazendo então as derivadas em função de x, y e z.

f x = 2 x - 6 a y z

f y = 2 y - 6 a x z

f z = 8 z - 6 a x z

Aplicando os valores encontrados no ponto ( 0 ,   - 1 ,   3 ) temos:

f x 0 = 2.0 - 6 a . ( - 1 ) . 3 = 18 a

f y - 1 = 2 . ( - 1 ) - 6 a . 0.3 = - 2

f z 3 = 8.3 - 6 a . 0.3 = 24

Então a equação do plano fica:

f x P o x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

f x 0 x - 0 + f y - 1 y - ( - 1 ) + f z 3 z - 3 = 0

18 a x - 0 - 2 y + 1 + 24 z - 3 = 0

18 a x - 2 y - 2 + 24 z - 72 = 0

18 a x - 2 y + 24 z - 74 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, encontramos a enquação do plano tangente em função de a , no entanto, queremos um que passe pelo ponto (1, -2, 1). Isso significa que aplicando esse ponto na equação do plano, ele precisa satisfazer a igualdade.

18 a x - 2 y + 24 z - 74 = 0

18 a . 1 - 2 . - 2 + 24.1 - 74 = 0

18 a + 4 + 24 - 74 = 0

18 a = 46

a = 46 18 = 23 9

Resposta

a = 23 9

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